Por que o tamanho do lado de um polígono regular impacta de maneira diferente sua área e seu perímetro?…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que o tamanho do lado de um polígono regular impacta de maneira diferente sua área e seu perímetro? Considere um hexágono regular cujo comprimento de cada lado é l cm. O perímetro P(l) desse hexágono é dado por P(l)=6·l. A área A(l) pode ser expressa como A(l)=(3·sqrt(3)/2)·l^2. À medida que l varia, P(l) e A(l) exibem comportamentos distintos em relação ao crescimento em função de l. Analise o texto-base e identifique como se classificam graficamente as funções P(l) e A(l) em relação a l.
- A) O perímetro cresce de forma quadrática e a área cresce de forma linear
- B) O perímetro cresce de forma exponencial e a área cresce de forma quadrática
- C) Tanto o perímetro quanto a área crescem de forma quadrática
- D) Tanto o perímetro quanto a área crescem de forma linear
- E) O perímetro cresce de forma linear e a área cresce de forma quadrática
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Analisamos o perímetro. P(l) = 6·l é uma função do primeiro grau (afim, sem termo constante), cujo gráfico é uma reta passando pela origem. Logo, o perímetro cresce de forma linear: dobrar o lado dobra o perímetro.
- Analisamos a área. A(l) = (3·raiz de 3/2)·l^2 é uma função do segundo grau com termo quadrático e sem termos de grau menor, cujo gráfico é uma parábola com concavidade para cima passando pela origem. Logo, a área cresce de forma quadrática: dobrar o lado multiplica a área por 4.
- Comparamos com as alternativas. A alternativa E descreve exatamente essa situação: perímetro linear e área quadrática.
- Verificamos as demais. A) está errada porque inverte os tipos de crescimento: o perímetro é linear, não quadrático, e a área é quadrática, não linear. B) está errada porque P(l) não é exponencial, pois a variável l aparece na base e não no expoente. C) está errada porque o perímetro não é quadrático, já que seu expoente de l é 1. D) está errada porque a área não é linear, já que l aparece elevado ao quadrado.
- Conclusão. O gabarito oficial E está correto, pois o perímetro cresce linearmente e a área cresce quadraticamente com l.
💡 Dica: Analise as expressões algébricas para identificar o tipo de crescimento das funções.
Alternativa por alternativa
O aluno inverteu os tipos de crescimento, achando que o perímetro, por envolver um produto, é quadrático, e que a área é linear. Não percebeu que o expoente de l na área é 2.
Por que engana: Confundir o crescimento linear com o quadrático, invertendo as classificações das funções.
O aluno confundiu função exponencial com função de grau 1, acreditando que o perímetro cresce de forma exponencial porque é um múltiplo de l. Também não reconheceu a área como quadrática corretamente, mas o erro central é tratar P(l) como exponencial.
O aluno supôs que, por o perímetro e a área dependerem do mesmo lado l, ambos devem ter o mesmo tipo de crescimento. Não observou que P(l) = 6·l tem expoente 1.
O aluno acreditou que a área também cresce de forma linear, talvez por associar a fórmula ao cálculo de um produto simples ou por não identificar o expoente 2 em l^2.
P(l)=6l é função linear; A(l)=(3sqrt(3)/2)l^2 é função quadrática, mostrando diferentes taxas de variação.
Raio-X da questão
funções crescimento linear e quadrático
diagnostico
funções lineares · funções quadráticas
Estude funções lineares e quadráticas e suas representações gráficas.
Confundir o crescimento linear com o quadrático, invertendo as classificações das funções.
pensamento_critico
abstrato
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