Folhas hexagonais compõem o jardim geométrico de um palácio histórico. Cada folha é um hexágono regular cujo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Folhas hexagonais compõem o jardim geométrico de um palácio histórico. Cada folha é um hexágono regular cujo lado mede l metros. Para adaptar o espaço, paisagistas registraram: • Quando l = 1, perímetro P = 6 e área A ˜ 2,6; • Quando l = 2, P = 12 e A ˜ 10,4; • Quando l = 3, P = 18 e A ˜ 23,4; • Quando l = 4, P = 24 e A ˜ 41,6. Esses valores mostram como P e A variam conforme l. Analise as variações de P e A em função de l no texto-base e classifique o crescimento de cada grandeza conforme o valor de l.
- A) O perímetro cresce linearmente e a área cresce quadraticamente
- B) Nenhuma das grandezas segue padrões linear ou quadrático
- C) O perímetro cresce quadraticamente e a área cresce linearmente
- D) O perímetro e a área crescem ambos linearmente
- E) O perímetro e a área crescem ambos quadraticamente
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O hexágono regular tem 6 lados iguais, então o perímetro é P = 6l. Conferindo com os dados: l = 1 gera P = 6, l = 2 gera P = 12, l = 3 gera P = 18 e l = 4 gera P = 24. A relação é de proporcionalidade direta, ou seja, uma função do 1º grau sem termo independente, portanto P cresce linearmente com l.
- A área de um hexágono regular é formada por 6 triângulos equiláteros de lado l, cada um com área (raiz de 3 / 4) x l^2. Logo A = 6 x (raiz de 3 / 4) x l^2 = (3 x raiz de 3 / 2) x l^2, que é aproximadamente 2,598 x l^2. Conferindo: l = 1 gera A ≈ 2,6; l = 2 gera A ≈ 10,4 (2,598 x 4); l = 3 gera A ≈ 23,4 (2,598 x 9); l = 4 gera A ≈ 41,6 (2,598 x 16). A área depende de l ao quadrado, então cresce quadraticamente.
- Comparando com as alternativas: a alternativa A descreve exatamente o que foi encontrado, perímetro linear e área quadrática. A alternativa B está errada porque P é linear e A é quadrática, e ambas seguem padrões claros. A alternativa C está errada porque inverte as duas classificações. A alternativa D está errada porque a área não cresce linearmente, pois dobrar l multiplica a área por 4 e não por 2. A alternativa E está errada porque o perímetro cresce linearmente, não quadraticamente.
- Conclusão: a alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Analise a variação dos valores de perímetro e área em função do lado l.
Alternativa por alternativa
P = 6l é função afim (linear) e A cresce como l^2 (quadrática) a partir dos dados.
O aluno acredita que nenhuma das grandezas tem crescimento linear ou quadrático, talvez por não identificar a fórmula do perímetro ou da área a partir dos valores tabelados.
O aluno inverte as relações: associa o perímetro, que é soma de 6 lados iguais, ao crescimento quadrático, e a área, que depende de l^2, ao crescimento linear.
Por que engana: Confundir o crescimento linear com o quadrático, invertendo as relações entre perímetro e área.
O aluno percebe que os valores de A aumentam de forma regular, mas não nota que a diferença entre eles cresce, e conclui que a área também cresce linearmente.
O aluno acredita que, por o perímetro ser uma grandeza de 'crescimento proporcional', ele deve ter comportamento quadrático como a área, sem verificar que P = 6l é linear.
Raio-X da questão
crescimento linear e quadrático
diagnostico
função linear · função quadrática
Estude funções lineares e quadráticas e suas características de crescimento.
Confundir o crescimento linear com o quadrático, invertendo as relações entre perímetro e área.
pensamento_critico
historico
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