Em um projeto de revitalização de uma praça brasileira, uma equipe de arquitetura pretende instalar um piso…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de revitalização de uma praça brasileira, uma equipe de arquitetura pretende instalar um piso decorativo formado por hexágonos regulares. Para estudar diferentes tamanhos de peças, os profissionais mantêm fixo o número de lados e variam o comprimento l de cada lado, medido em metros. Nesse caso, o perímetro P e a área A de cada hexágono são calculados por P(l)=6l e A(l)=6l²/(4·tan(p/6)). Assim, a única variável é l, enquanto os demais valores permanecem constantes. Com base nas expressões apresentadas, classifique corretamente como variam, em função do comprimento l do lado, o perímetro e a área do hexágono regular.
- A) O perímetro varia linearmente e a área varia quadraticamente.
- B) O perímetro varia linearmente e a área permanece constante.
- C) O perímetro permanece constante e a área varia quadraticamente.
- D) O perímetro varia quadraticamente e a área varia linearmente.
- E) O perímetro varia quadraticamente e a área varia quadraticamente.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique a lei de formação do perímetro: P(l) = 6l. É uma função do primeiro grau (linear) em l, sem termo quadrático, portanto o perímetro varia linearmente com o comprimento do lado.
- Identifique a lei da área: A(l) = 6l^2/(4·tan(p/6)). Como 6, 4 e tan(p/6) são constantes (o número de lados e o ângulo são fixos), a área tem a forma k·l^2, com k = 6/(4·tan(p/6)) constante e positivo. Isso é uma função do segundo grau, sem termo linear, ou seja, a área varia quadraticamente com l.
- Verifique o sentido da variação. Dobrar o lado dobra o perímetro (6·2l = 2·6l), mas quadruplica a área (6(2l)^2 = 4·6l^2). Isso confirma a classificação: perímetro linear e área quadrática.
- Compare com as alternativas. A alternativa A está correta. A alternativa B está errada porque a área depende de l^2 e não é constante. A alternativa C está errada porque o perímetro depende de l e não é constante. A alternativa D está errada porque inverte os tipos de variação: o perímetro é linear e a área é quadrática. A alternativa E está errada porque o perímetro não varia quadraticamente, pois não há l^2 em P(l) = 6l.
- Conclusão: o gabarito oficial A está correto, pois o perímetro varia linearmente e a área varia quadraticamente em função de l.
💡 Dica: Analise as fórmulas e identifique o tipo de variação em função de l.
Alternativa por alternativa
Na expressão P(l)=6l, a variável l está elevada à primeira potência; portanto, o perímetro é uma função linear de l. Na expressão A(l)=6l²/(4·tan(π/6)), todos os fatores, exceto l², são constantes. Por isso, a área é uma função quadrática de l.
O aluno pode ter confundido a área com uma grandeza fixa por ser um 'piso' de números de lados constantes, achando que o que não muda é a área; não percebeu que a área depende de l^2 na fórmula.
Por que engana: Confundir a variação linear com a quadrática ao analisar as fórmulas das grandezas.
O aluno pode ter interpretado que, por o número de lados ser fixo, o perímetro também seria fixo, ignorando que o perímetro é 6l e l é a variável.
O aluno pode ter invertido as leis: associou o termo l^2 ao perímetro e o termo l à área, sem observar que P(l) = 6l é linear e A(l) contém l^2.
O aluno pode ter supostamente presumido que, por ser uma figura geométrica plana, o perímetro também cresce com o quadrado do lado, confundindo perímetro (medida de comprimento) com área (medida de superfície).
Raio-X da questão
variação linear e quadrática
avaliacao
função linear · função quadrática
Estude funções lineares e quadráticas e suas características de variação.
Confundir a variação linear com a quadrática ao analisar as fórmulas das grandezas.
pensamento_critico
cotidiano
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