Por que a área de um polígono regular parece aumentar mais rápido do que seu perímetro? Pesquisadores mediram…

Questão

Por que a área de um polígono regular parece aumentar mais rápido do que seu perímetro? Pesquisadores mediram o perímetro e a área de um polígono regular de oito lados com diferentes comprimentos de lado. Para lados de 1, 2, 3 e 4 metros, obtiveram perímetros de 8, 16, 24 e 32 metros e áreas aproximadas de 4,8; 19,2; 43,2 e 76,8 metros quadrados. Esses valores mostram como as grandezas variam. Analise o texto-base e identifique a natureza da curva que relaciona a área com o comprimento do lado de um polígono regular.

1. A) Crescimento cúbico da área em função do lado
2. B) Crescimento logarítmico da área em função do lado
3. C) Crescimento exponencial da área em função do lado
4. D) Crescimento quadrático da área em função do lado
5. E) Crescimento linear da área em função do lado

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. O perímetro de um polígono regular de 8 lados é P = 8s, em que s é o comprimento do lado. Logo, o perímetro varia diretamente com s, ou seja, sua relação é linear (P = 8s). Os dados confirmam isso: 1 m gera 8 m, 2 m gera 16 m, 3 m gera 24 m e 4 m gera 32 m, com acréscimo constante de 8 m a cada metro de lado.
2. Para a área, é preciso conhecer a fórmula de um octógono regular. Dividindo-o em triângulos a partir do centro, a área é A = 2(1 + raiz de 2) s^2, que é aproximadamente 4,83 s^2. Esse fator quadrático mostra que a área depende do quadrado do lado.
3. Verificando com os dados: para s = 1, A = 4,83 (valor medido 4,8); para s = 2, A = 19,3 (medido 19,2); para s = 3, A = 43,5 (medido 43,2); para s = 4, A = 77,3 (medido 76,8). As pequenas diferenças são arredondamentos ou aproximações das medidas, e o padrão é claramente quadrático.
4. Uma forma de confirmar sem fórmula é observar que, ao dobrar o lado (de 1 para 2), a área sobe de 4,8 para 19,2, ou seja, quadruplica (é 2^2 = 4). Ao triplicar (de 1 para 3), a área fica 9 vezes maior (4,8 vezes 9 é aproximadamente 43,2). Isso é característico de crescimento quadrático.
5. Por que as outras alternativas estão erradas: A) o crescimento cúbico exigiria área proporcional a s^3, o que não ocorre, pois a área cresce com s^2; B) o crescimento logarítmico cresce cada vez mais devagar, enquanto a área aqui acelera; C) o crescimento exponencial aumenta multiplicando por um fator fixo a cada unidade de s, e não por uma potência fixa de s; E) o crescimento linear corresponde ao perímetro, não à área.
6. Conclusão: a área de um polígono regular cresce de forma quadrática em função do lado, por isso parece aumentar mais rápido que o perímetro, que cresce de forma linear. Alternativa correta: D.

💡 Dica: Analise a relação entre lado, perímetro e área para identificar o tipo de crescimento.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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