Folhas de um relatório ambiental relatam o monitoramento de um derramamento de substância poluente em um lago…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Folhas de um relatório ambiental relatam o monitoramento de um derramamento de substância poluente em um lago fictício. No instante inicial, a concentração medida na superfície da água era de 100 mg/L. Observou-se que, após cada hora, o valor da concentração se reduzia a 90% do valor da hora anterior, devido à ação de bactérias que degradam o poluente. Os especialistas indicam que o comportamento segue um modelo de decaimento exponencial, no qual C(t) representa a concentração em mg/L após t horas. Analise o texto-base e determine após quantas horas a concentração cairá abaixo de 50 mg/L.
- A) 7 horas
- B) 6 horas
- C) 10 horas
- D) 8 horas
- E) 5 horas
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. A concentração cai para 90% do valor da hora anterior, logo é um decaimento exponencial com fator 0,9 por hora: C(t) = 100 * 0,9^t, com C em mg/L e t em horas.
- Monte a condição. Queremos o instante em que C(t) fica abaixo de 50 mg/L, ou seja, 100 * 0,9^t < 50, o que equivale a 0,9^t < 0,5.
- Isole t com logaritmos. t > ln(0,5) / ln(0,9), que dá aproximadamente t > 0,6931 / 0,1054, ou seja, t > 6,58 horas.
- Verifique os valores inteiros. Para t = 6, C(6) = 100 * 0,9^6 = 53,14 mg/L, ainda acima de 50. Para t = 7, C(7) = 100 * 0,9^7 = 47,83 mg/L, já abaixo de 50. Portanto, a primeira hora inteira em que a concentração fica abaixo de 50 mg/L é 7 horas.
- Conclusão. A alternativa correta é A, que coincide com o gabarito oficial. As demais estão erradas: a B (6 horas) ainda tem 53,14 mg/L; a E (5 horas) tem 59,05 mg/L; a C (10 horas) e a D (8 horas) até são valores em que a concentração já está abaixo de 50, mas não são o primeiro instante em que isso acontece, que é o que o enunciado pede.
💡 Dica: Use a fórmula do decaimento exponencial e calcule o tempo para concentração ser menor que 50 mg/L.
Alternativa por alternativa
Calcula t = ln(0,5)/ln(0,9)˜6,58 horas e adota a próxima hora inteira, 7 horas.
O aluno calcula 0,9^6 corretamente como cerca de 0,53, mas arredonda ou considera que ao fim de 6 horas a concentração já chegou a 50 mg/L, sem verificar que 53 mg/L ainda está acima do limite.
Por que engana: Confundir decaimento exponencial com decaimento linear e calcular tempo incorretamente.
O aluno percebe que 10 horas já é suficiente para ficar abaixo de 50 mg/L (0,9^10 é cerca de 0,35), mas não percebe que a pergunta pede o primeiro instante em que isso ocorre, e não um instante qualquer posterior.
O aluno confere que 8 horas já deixa a concentração abaixo de 50 mg/L (0,9^8 é cerca de 0,43), mas não confere que 7 horas já atende à condição, e escolhe um valor posterior ao primeiro instante pedido.
O aluno trata a redução como linear, perdendo 10% do valor inicial (10 mg/L) a cada hora, e assim chega a 50 mg/L em 5 horas. No decaimento exponencial, a perda se aplica sobre o valor atual, e em 5 horas a concentração ainda está em cerca de 59 mg/L.
Raio-X da questão
decaimento exponencial concentração
avaliacao
função exponencial básica · logaritmos simples
Estude funções exponenciais e cálculo de decaimento.
Confundir decaimento exponencial com decaimento linear e calcular tempo incorretamente.
tomada_decisao
cientifico
Questões parecidas com resolução
- Durante estudos recentes de depuração de água em uma estação de tratamento, técnicos mediram a concentração de um…
- Pesquisadores monitoram ha semanas a variação da concentração de íons hidrogênio em um trecho de rio impactado por…
- Pesquisadores observam a concentração de cafeína no sangue de voluntários após a ingestão de 200 mg de um comprimido. O…
- Dados ilustrativos: Em um laboratório de biotecnologia, a concentração de uma cultura bacteriana em células por mL foi…
- Em uma estação de reuso, o gráfico mostra a concentração de um desinfetante após a aplicação. Considere que, a cada…
- Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog