Durante estudos recentes de depuração de água em uma estação de tratamento, técnicos mediram a concentração de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante estudos recentes de depuração de água em uma estação de tratamento, técnicos mediram a concentração de um poluente ao longo do tempo. Os dados indicaram que a concentração C, em mg/L, decresce segundo a função exponencial C(t) = 100 * (0.85)^t, em que t é o tempo em horas desde o início do processo. Os engenheiros precisam saber quando a concentração ficará em um nível seguro de 40 mg/L para liberar a água tratada. A partir do texto-base, determine o tempo aproximado, em horas, necessário para que a concentração de poluente atinja 40 mg/L.
- A) 6,8 horas
- B) 7,5 horas
- C) 5,6 horas
- D) 4,0 horas
- E) 3,2 horas
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Queremos o instante t em que C(t) = 40 mg/L, ou seja, 100 * (0,85)^t = 40.
- Dividindo os dois lados por 100, obtemos (0,85)^t = 0,4.
- Como o tempo está no expoente, aplicamos logaritmo natural nos dois lados: t * ln(0,85) = ln(0,4).
- Isolando t, temos t = ln(0,4) / ln(0,85). Usando ln(0,4) de aproximadamente -0,9163 e ln(0,85) de aproximadamente -0,1625, o quociente é cerca de 5,64 horas.
- Arredondando, t é aproximadamente 5,6 horas, que é a alternativa C. Assim, o gabarito oficial está correto e coincide com a nossa resolução.
- A alternativa A (6,8 horas) está errada, pois substituir t = 6,8 em 100 * (0,85)^t dá cerca de 33 mg/L, valor já abaixo de 40. A alternativa B (7,5 horas) também está errada, pois nesse instante a concentração fica perto de 30 mg/L. A alternativa D (4,0 horas) está errada porque a concentração ainda seria de cerca de 52 mg/L. A alternativa E (3,2 horas) está errada porque a concentração seria de cerca de 59 mg/L nesse instante.
- Verificação final: com t = 5,6, temos (0,85)^5,6 de aproximadamente 0,40, logo C de aproximadamente 40 mg/L.
💡 Dica: Use a fórmula dada e isole t para encontrar o tempo.
Alternativa por alternativa
Provavelmente calculou ln(0,4)/ln(0,85) com arredondamento grosseiro do logaritmo de 0,85 ou errou a conta do quociente, obtendo um tempo maior do que o real.
Provavelmente fez uma estimativa ou aproximação imprecisa do logaritmo, o que levou a um tempo ainda maior, sem verificar se a concentração de fato chega a 40 mg/L nesse instante.
Por que engana: Confundir a base da função exponencial ou não aplicar logaritmo para isolar o tempo.
Resolve 100*(0.85)^t=40 => (0.85)^t=0,4 => t=ln(0,4)/ln(0,85) ˜5,62 horas.
Tratou o decaimento como linear, supondo perda constante de 15 mg/L por hora (60 dividido por 15 é 4). Na função exponencial, a queda é proporcional à concentração atual e fica mais lenta com o tempo.
Provavelmente subestimou o tempo por erro no cálculo do logaritmo ou na divisão, chegando a um valor menor. Não verificou a substituição, que daria cerca de 59 mg/L em 3,2 horas.
Raio-X da questão
função exponencial decrescente
avaliacao
função exponencial · logaritmos
estude propriedades de funções exponenciais e logaritmos
Confundir a base da função exponencial ou não aplicar logaritmo para isolar o tempo.
tomada_decisao
cientifico
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