Uma associação de bairro vai delimitar uma horta retangular em um terreno plano. O perímetro disponível para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma associação de bairro vai delimitar uma horta retangular em um terreno plano. O perímetro disponível para cercar a horta é de 48 metros. Se um dos lados mede x metros, o outro mede 24 - x metros, e a área pode ser modelada por A(x) = x(24 - x). Considerando esse modelo, quais medidas dos lados produzem uma área de 135 metros quadrados?
- A) Os lados medem 5 m e 19 m.
- B) Os lados medem 10 m e 14 m.
- C) Os lados medem 8 m e 16 m.
- D) Os lados medem 6 m e 18 m.
- E) Os lados medem 9 m e 15 m.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Montar a equação a partir do modelo dado. A área é A(x) = x(24 - x). Para que a área seja 135 m², temos x(24 - x) = 135.
- Desenvolver a equação: 24x - x^2 = 135, ou seja, x^2 - 24x + 135 = 0.
- Resolver pela fórmula de Bhaskara. O discriminante é Delta = (-24)^2 - 4 . 1 . 135 = 576 - 540 = 36. Como a raiz de 36 é 6, temos x = (24 + 6)/2 = 15 ou x = (24 - 6)/2 = 9.
- Encontrar o outro lado. Se x = 9, o outro lado é 24 - 9 = 15. Se x = 15, o outro lado é 24 - 15 = 9. Em ambos os casos, os lados são 9 m e 15 m.
- Conferir. 9 . 15 = 135 e 9 + 15 = 24, então o perímetro é 2 . (9 + 15) = 48 m, como exigido pelo enunciado.
- Verificar as alternativas erradas. A alternativa A dá 5 . 19 = 95, errada. A alternativa B dá 10 . 14 = 140, errada. A alternativa C dá 8 . 16 = 128, errada. A alternativa D dá 6 . 18 = 108, errada.
- Conclusão: a alternativa correta é a E, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Iguale x(24 - x) a 135 e confira qual alternativa satisfaz a equação.
Alternativa por alternativa
O aluno escolheu lados que somam 24 (perímetro correto), mas errou o produto, obtendo 95 em vez de 135, ou aceitou a tentativa sem conferir a área.
O aluno obteve um produto próximo de 135, mas errou a multiplicação (10 . 14 = 140) e aceitou a resposta sem checar com precisão.
O aluno testou um par de números que somam 24 e escolheu o mais 'redondo' sem calcular a área, que seria 128, e não 135.
Por que engana: Somar as medidas dos lados para obter 135, confundindo área com perímetro.
O aluno acredita que, quanto mais desiguais forem os lados, maior será a área, quando na verdade a área de um retângulo com perímetro fixo é maximizada quando os lados são iguais; 6 . 18 = 108 é menor que 135.
A equação x(24 - x) = 135 equivale a x^2 - 24x + 135 = 0, cujas soluções são 9 e 15. Como os lados são complementares em relação a 24, ambas as medidas atendem ao modelo.
Raio-X da questão
Função quadrática e área de retângulo.
Determinar dimensões
Perímetro de retângulo. · Multiplicação e fatoração de expressões algébricas.
Equação do segundo grau por fatoração ou teste de valores.
Somar as medidas dos lados para obter 135, confundindo área com perímetro.
Educação ambiental e espaços comunitários.
Delimitação de uma h
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