Marcas de tinta colorida cobriam o papel enquanto Sofia testava combinações de círculos para seu desenho…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Marcas de tinta colorida cobriam o papel enquanto Sofia testava combinações de círculos para seu desenho abstrato. Ela definiu dois pontos A e B separados por 6 cm e, usando compasso, traçou em torno de cada um uma circunferência de raio 4 cm. Curiosa, Sofia observou as regiões onde as duas linhas curvas poderiam se encontrar. Interprete o texto-base e identifique quantos pontos de interseção as duas circunferências apresentam.
- A) Infinitos pontos de interseção
- B) Exatamente um ponto de interseção
- C) Quatro pontos de interseção
- D) Nenhum ponto de interseção
- E) Exatamente dois pontos de interseção
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. Os centros A e B estão separados por d = 6 cm e as duas circunferências têm o mesmo raio r = 4 cm.
- Compare a distância entre os centros com a soma e a diferença dos raios. A soma dos raios é 4 + 4 = 8 cm. A diferença dos raios é 4 - 4 = 0 cm.
- Aplique a condição geométrica. Duas circunferências se cortam em exatamente dois pontos quando |r1 - r2| < d < r1 + r2. Aqui temos 0 < 6 < 8, logo a condição é satisfeita.
- Conclua. Como os raios são iguais, as duas circunferências são simétricas em relação à reta AB e se cruzam em dois pontos, um acima e outro abaixo dessa reta. Portanto a alternativa correta é a E, exatamente dois pontos de interseção. O gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A está errada porque infinitos pontos só ocorreriam se as circunferências coincidissem, o que exige centros iguais. A alternativa B está errada porque um único ponto ocorreria apenas em tangência, o que exigiria d = 8 ou d = 0. A alternativa C está errada porque duas circunferências distintas se cortam, no máximo, em dois pontos. A alternativa D está errada porque nenhum ponto ocorreria se d fosse maior que 8 ou menor que 0, e 6 não satisfaz essa condição.
💡 Dica: Use a definição de interseção entre circunferências e compare as distâncias e raios.
Alternativa por alternativa
Imagina que as circunferências se sobrepõem em uma região inteira, como se fossem discos, e interpreta o texto 'regiões onde as linhas poderiam se encontrar' como infinitos pontos. Não distingue a circunferência (linha curva) do círculo (região).
Acredita que as circunferências se tocam em apenas um ponto, confundindo a condição de tangência com a situação da questão. Não percebe que a tangência exigiria distância entre centros igual a 8 cm, e não 6 cm.
Conta separadamente os cruzamentos de cada circunferência com a outra, ou seja, dois para cada, e soma o total para obter quatro. Ignora que cada ponto de interseção é compartilhado pelas duas curvas.
Por que engana: Confundir o número de pontos de interseção ao não considerar a relação entre distância dos centros e raios.
Compara o raio de 4 cm com a distância de 6 cm e conclui que as circunferências não se encontram, ou usa a metade da distância (3 cm) em vez da soma dos raios. Esquece que a soma dos raios, 8 cm, é maior que 6 cm.
Como 0 < 6 < 8, as duas circunferências se intersectam externamente em dois pontos.
Raio-X da questão
interseção de circunferências
diagnostico
distância entre pontos · raio de circunferência
Estude propriedades e posições relativas de circunferências no plano.
Confundir o número de pontos de interseção ao não considerar a relação entre distância dos centros e raios.
pensamento_critico
cotidiano
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