Quem disse que geometria não pode virar arte? Em uma folha em branco, três pontos A, B e C foram marcados de…

Questão

Quem disse que geometria não pode virar arte? Em uma folha em branco, três pontos A, B e C foram marcados de modo não colineares. Utilizando régua e compasso, traçou-se o segmento AB e, com o compasso preso em A, desenhou-se uma circunferência de raio AB. Em seguida, com o compasso preso em B, desenhou-se outra circunferência de raio AB. O procedimento foi repetido para os pares B–C e C–A, cada vez traçando uma circunferência de raio igual à distância entre os pontos escolhidos. Com base no texto, determine quantos pontos de interseção são formados pelas seis circunferências desenhadas.

1. A) 3
2. B) 6
3. C) 4
4. D) 8
5. E) 2

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique as seis circunferências. Com centro em A há duas (raio AB e raio AC, pois o par C–A usa raio CA), com centro em B há duas (raios AB e BC) e com centro em C há duas (raios BC e CA). O enunciado não diz que o triângulo é equilátero, então a análise abaixo considera o caso em que AB = BC = CA = s, que é o único em que a contagem fica determinada; essa é a dúvida central da questão. Passo 2: Com AB = BC = CA, as seis circunferências se reduzem a apenas três distintas, cada uma com centro em um vértice e raio s: a de centro A, a de centro B e a de centro C. Circunferências repetidas (mesmo centro e mesmo raio) coincidem e não geram novos pontos. Passo 3: Duas circunferências de raio s com centros a distância s se cortam em exatamente 2 pontos. Circunferência de centro A e de centro B: os pontos são C e o seu simétrico C' em relação à reta AB. Circunferência de centro B e de centro C: os pontos são A e seu simétrico A'. Circunferência de centro C e de centro A: os pontos são B e seu simétrico B'. Passo 4: Os pontos C, C', A, A', B e B' são todos distintos, então há 6 pontos de interseção. Passo 5: Por que as outras estão erradas: 3 ignora os pontos simétricos e conta apenas os vértices; 4 considera apenas dois dos três pares de circunferências; 8 soma pontos repetidos sem descontar coincidências; 2 considera apenas um par de circunferências. Passo 6: Conclusão: o gabarito B está correto, desde que se assuma o triângulo equilátero.

💡 Dica: Analise as interseções entre as circunferências formadas pelos pares de pontos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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