Em uma aula de artes visuais, Letícia prepara um padrão decorativo usando compasso e régua. Ela fixa dois…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma aula de artes visuais, Letícia prepara um padrão decorativo usando compasso e régua. Ela fixa dois pontos, A e B, no papel, separados por 8 cm. Com o compasso ajustado para 6 cm, desenha duas circunferências de raios iguais, com centros em A e B. As circunferências se cruzam em dois pontos, P e Q, que farão parte do contorno final da peça. Analise o texto-base e determine a distância aproximada, em centímetros, entre os pontos de interseção P e Q das duas circunferências.
- A) 8,9 cm
- B) 6 cm
- C) 8 cm
- D) 10 cm
- E) 12 cm
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Os centros das circunferências são A e B, com AB = 8 cm. Como os raios são iguais e valem 6 cm, os pontos P e Q estão ambos a 6 cm de A e a 6 cm de B. Isso significa que P e Q pertencem à mediatriz de AB, a reta perpendicular a AB que passa pelo ponto médio M.
- O ponto M está a 4 cm de A e a 4 cm de B. No triângulo retângulo APM, a hipotenusa AP mede 6 cm e um cateto AM mede 4 cm. Pelo teorema de Pitágoras, PM^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20, logo PM = raiz de 20 = 2 vezes raiz de 5, aproximadamente 4,47 cm.
- Como P e Q são simétricos em relação à reta AB, a distância PQ é o dobro de PM: PQ = 2 vezes raiz de 20 = 4 vezes raiz de 5, aproximadamente 8,94 cm, que arredondado é 8,9 cm.
- Conferência: a corda PQ precisa ser menor que o diâmetro (12 cm) e fica perto da distância entre os centros, o que é coerente com 8,9 cm.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa B (6 cm) confunde PQ com o raio; a alternativa C (8 cm) iguala PQ à distância entre os centros; a alternativa D (10 cm) resulta de somar os quadrados em vez de subtraí-los no Pitágoras; a alternativa E (12 cm) é o diâmetro de uma circunferência, que não é a corda comum.
- O gabarito oficial A está correto.
💡 Dica: Use propriedades geométricas de circunferências e triângulos para calcular a distância entre P e Q.
Alternativa por alternativa
Distância é 2·sqrt(6^2-(8/2)^2)=2·sqrt(36-16)=2·sqrt(20)˜8,94 cm.
O aluno supõe que a corda comum PQ tem o mesmo comprimento do raio do compasso (6 cm), sem calcular a posição dos pontos de interseção.
Por que engana: Confundir a distância entre os centros com a distância entre os pontos de interseção ou não aplicar corretamente o teorema de Pitágoras.
O aluno acha que PQ deve ter a mesma medida da distância entre os centros A e B, confundindo o segmento que liga os centros com o segmento que liga as interseções.
O aluno aplica Pitágoras somando os quadrados (6^2 + 8^2 = 100, raiz de 100 = 10) em vez de usar a metade de AB e subtrair os quadrados, e esquece de dobrar a distância até o ponto médio.
O aluno considera que a corda comum tem o comprimento do diâmetro da circunferência (2 vezes 6 = 12 cm), sem perceber que P e Q não são extremos de um diâmetro.
Raio-X da questão
interseção de circunferências
diagnostico
propriedades de circunferências · teorema de Pitágoras
estude propriedades de circunferências e cálculo de distâncias em triângulos
Confundir a distância entre os centros com a distância entre os pontos de interseção ou não aplicar corretamente o teorema de Pitágoras.
pensamento_critico
cotidiano
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