Manchete ficticia: Artista paisagista desenvolve no jardim botânico um padrão ornamental composto por dois…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Manchete ficticia: Artista paisagista desenvolve no jardim botânico um padrão ornamental composto por dois canteiros circulares desenhados com compasso. O primeiro canteiro tem centro no ponto A e raio de 5 m. O segundo canteiro tem centro no ponto B, localizado a 7 m de A, e raio de 3 m. A proposta do artista é que as duas curvas se cruzem de maneira a formar um motivo simétrico no chão. Dados ilustrativos: círculos com centros A e B, raios 5 m e 3 m, e distância AB de 7 m. Analise o texto-base e determine quantos pontos de interseção existem entre as duas circunferências desenhadas.
- A) Nenhum ponto de interseção
- B) Um único ponto de interseção
- C) Dois pontos de interseção
- D) Três pontos de interseção
- E) Infinitos pontos de interseção
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. As circunferências têm centros A e B, com distância AB = 7 m, raio da primeira r1 = 5 m e raio da segunda r2 = 3 m. Passo 2: Compare a distância entre os centros com a soma e a diferença dos raios. A soma é r1 + r2 = 5 + 3 = 8 m. A diferença em módulo é |r1 - r2| = |5 - 3| = 2 m. Passo 3: Como 2 < 7 < 8, a distância entre os centros está estritamente entre a diferença e a soma dos raios. Isso significa que cada circunferência corta a outra em dois pontos distintos. Passo 4: Conclusão: existem exatamente dois pontos de interseção, o que corresponde à alternativa C, igual ao gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A) não há interseção só se a distância fosse maior que 8 m ou menor que 2 m, e 7 m não está nesses intervalos. B) um único ponto ocorreria apenas em tangência, quando a distância fosse 8 m ou 2 m. D) não existem três pontos de interseção entre duas circunferências distintas, pois o número máximo é dois. E) infinitos pontos ocorreriam só se as circunferências coincidissem, o que não acontece, pois os centros são diferentes.
💡 Dica: Use a relação entre distância dos centros e somas/diferenças dos raios para determinar interseção.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que, como 7 m é maior que o raio de 5 m, o círculo menor fica totalmente fora do maior. Ele compara a distância entre centros com um único raio, em vez de comparar com a soma e a diferença dos raios.
O aluno confunde a situação com tangência, por achar que 8 m (soma dos raios) está próximo de 7 m e que os círculos apenas se encostam. Ele não percebe que a tangência exterior exigiria distância igual à soma dos raios.
Por que engana: Confundir a relação entre distância dos centros e raios, levando a erro na contagem dos pontos de interseção.
Como |5 - 3| < 7 < 5 + 3, as circunferências se cruzam em dois pontos.
O aluno acredita que a intersecção pode ter um terceiro ponto, talvez somando um ponto de tangência ou o ponto médio da linha dos centros. Ele não sabe que duas circunferências distintas se cruzam em no máximo dois pontos.
O aluno imagina que, como os círculos se sobrepõem numa região, a intersecção é uma área com infinitos pontos. Ele confunde a região comum entre os discos com a interseção das circunferências, que são apenas as curvas.
Raio-X da questão
interseção de circunferências
avaliacao
propriedades de circunferência · distância entre pontos
Estude propriedades e posições relativas de circunferências.
Confundir a relação entre distância dos centros e raios, levando a erro na contagem dos pontos de interseção.
pensamento_critico
cotidiano
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