— Olha esses pequenos pingentes que comprei para fazer chaveiros, disse Lucas ao amigo. Ele tinha seis modelos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver, com o suporte de imagem e/ou material manipulável, problemas simples de contagem, como a determinação do número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de outra, utilizando estratégias e formas de registro pessoais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Olha esses pequenos pingentes que comprei para fazer chaveiros, disse Lucas ao amigo. Ele tinha seis modelos diferentes numerados de 1 a 6 e queria usar exatamente três em cada chaveiro, sem repetir um mesmo modelo na mesma argola. Para organizar as opções, Lucas anotou que a ordem em que os pingentes fossem adicionados não mudaria o resultado: interessava apenas o conjunto de três modelos escolhidos. Analise o texto-base e determine quantas combinações distintas de chaveiros Lucas pode montar com seis pingentes, escolhendo três por chaveiro.
- A) 30
- B) 120
- C) 60
- D) 15
- E) 20
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Como a ordem dos pingentes não importa e não há repetição de modelo na mesma argola, trata-se de combinação simples de 6 elementos tomados 3 a 3, ou seja, C(6,3) = 6! / (3! * 3!). Passo 2: Calculando, 6! = 720 e 3! = 6, logo C(6,3) = 720 / (6 * 6) = 720 / 36 = 20. Passo 3: Conferência por contagem direta: os trios que contêm o modelo 1 são formados pelo 1 mais 2 dos outros 5 modelos, o que dá C(5,2) = 10; os trios que não contêm o modelo 1 são formados por 3 dos 5 modelos restantes, o que dá C(5,3) = 10. Total: 10 + 10 = 20. Passo 4: A alternativa A (30) não corresponde a nenhuma contagem válida de trios a partir de 6 modelos. A alternativa B (120) é o arranjo A(6,3) = 6 * 5 * 4, que considera a ordem, algo que o texto expressamente descarta. A alternativa C (60) corresponde a 6 * 5 * 4 / 2, isto é, divide o arranjo por 2 em vez de por 3!, erro no fator de correção. A alternativa D (15) é C(6,2), que conta pares e não trios. Passo 5: Portanto, a resposta correta é 20, alternativa E, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Como a ordem não importa, calcule as combinações de 6 pingentes escolhidos 3 a 3.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente fez uma contagem parcial ou aproximada, como 6 * 5 = 30, multiplicando apenas duas escolhas e esquecendo a terceira posição do chaveiro.
O aluno calculou o arranjo de 6 modelos tomados 3 a 3 (6 * 5 * 4 = 120), ignorando que a ordem de inclusão dos pingentes não muda o resultado, conforme o próprio texto.
O aluno calculou corretamente o arranjo 6 * 5 * 4 = 120, mas dividiu por 2 em vez de por 3! = 6, errando o fator que elimina a contagem das ordens de um mesmo trio.
O aluno confundiu o número de elementos escolhidos, calculando C(6,2) = 15 como se cada chaveiro levasse apenas dois pingentes, em vez de três.
Por que engana: Considerar que a ordem dos três pingentes altera o chaveiro e contar arranjos diferentes como opções distintas.
Como a ordem não importa, cada grupo de três modelos conta uma vez. Há 20 grupos diferentes.
Raio-X da questão
Combinação simples de elementos
avaliacao
Contagem de possibilidades simples · Multiplicação e divisão básicas
Revise combinações simples e a diferença entre combinações e permutações.
Considerar que a ordem dos três pingentes altera o chaveiro e contar arranjos diferentes como opções distintas.
tomada_decisao
cotidiano
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