Em uma atividade, Pedro registrou duas sequências numéricas. A primeira foi definida por a1 = 3 e a? = 2 ·…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade, Pedro registrou duas sequências numéricas. A primeira foi definida por a1 = 3 e a? = 2 · a??1, para n > 1, formando 3, 6, 12, 24, ... . A segunda foi definida por b? = 4n + 1, formando 5, 9, 13, 17, ... . Analise as duas definições e identifique qual sequência é recursiva e qual não é recursiva.
- A) A sequência 3, 6, 12, 24, ... é recursiva, e a sequência 5, 9, 13, 17, ... não é recursiva.
- B) A sequência 3, 6, 12, 24, ... é recursiva, e não é possível classificar a sequência 5, 9, 13, 17, ... com as informações dadas.
- C) As sequências 3, 6, 12, 24, ... e 5, 9, 13, 17, ... são recursivas.
- D) A sequência 3, 6, 12, 24, ... não é recursiva, e a sequência 5, 9, 13, 17, ... é recursiva.
- E) As sequências 3, 6, 12, 24, ... e 5, 9, 13, 17, ... não são recursivas.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Uma sequência é recursiva quando cada termo é obtido a partir do(s) termo(s) anterior(es), junto com um valor inicial dado. Passo 2: Analisando a primeira sequência, a1 = 3 é o termo inicial e a(n) = 2 · a(n-1) para n > 1 define cada termo a partir do anterior. Por exemplo, a2 = 2 · 3 = 6, a3 = 2 · 6 = 12 e a4 = 2 · 12 = 24. Logo, a primeira sequência é recursiva. Passo 3: Analisando a segunda sequência, b(n) = 4n + 1 permite calcular qualquer termo diretamente a partir da posição n, sem usar termos anteriores. Por exemplo, b1 = 5, b2 = 9 e b10 = 41, sem precisar conhecer b9. Logo, a segunda sequência é não recursiva (definida explicitamente). Passo 4: Assim, a conclusão é que a sequência 3, 6, 12, 24, ... é recursiva e a sequência 5, 9, 13, 17, ... não é recursiva, o que corresponde à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Sobre as demais alternativas: a B está errada porque a segunda lei de formação é explícita e permite classificá-la; a C está errada porque a segunda sequência não depende de termos anteriores; a D está errada porque inverte as duas classificações; a E está errada porque a primeira sequência depende claramente do termo anterior.
💡 Dica: Compare as definições recursiva e explícita das sequências para identificar cada tipo.
Alternativa por alternativa
A primeira sequência é recursiva porque cada termo, a partir do segundo, é calculado usando o termo anterior, conforme a regra aₙ = 2 · aₙ₋₁. A segunda não é recursiva porque cada termo pode ser calculado diretamente pela fórmula bₙ = 4n + 1, sem usar o termo anterior.
O aluno acredita que, sem um termo anterior definido por recorrência, a fórmula 4n + 1 não permite classificar a sequência. Ele não percebe que uma fórmula em função de n é justamente o tipo de definição não recursiva.
O aluno considera recursiva qualquer sequência com padrão regular, como a diferença constante de 4 entre os termos de 5, 9, 13, 17. Ele confunde o fato de existir um padrão com a dependência explícita do termo anterior.
O aluno inverte o conceito e acredita que recursiva é a sequência dada por uma fórmula em função de n, enquanto a que depende do termo anterior seria não recursiva. Ele não associa a recursividade à dependência de termos anteriores.
O aluno acredita que nenhuma das duas sequências é recursiva, talvez por considerar que recursão exige uma fórmula complexa ou por não reconhecer a relação a(n) = 2 · a(n-1) como definição recursiva. Ele não identifica que o termo seguinte depende do anterior na primeira sequência.
Raio-X da questão
sequência recursiva e explícita
avaliacao
sequência numérica · função matemática
Estude definições e exemplos de sequências recursivas e explícitas.
Confundir sequência recursiva com sequência explícita, invertendo as definições dos tipos de sequência.
tomada_decisao
abstrato
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