Em uma oficina de mosaicos, uma artesã observa sequências numéricas usadas para criar padrões. Algumas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma oficina de mosaicos, uma artesã observa sequências numéricas usadas para criar padrões. Algumas sequências são definidas por uma fórmula que usa diretamente o número do termo. Outras são definidas a partir do termo anterior. Qual das sequências abaixo apresenta uma expressão recursiva, isto é, uma expressão que determina cada termo a partir do termo anterior?
- A) a₁ = 2; aₙ = 2ⁿ
- B) a₁ = 2; aₙ = n!
- C) a₁ = 2; aₙ = 5n
- D) a₁ = 2; aₙ = 3n − 1
- E) a₁ = 2; aₙ = aₙ₋₁ + 3
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A questão pede a sequência cuja lei de formação determina cada termo a partir do termo anterior, ou seja, uma definição recursiva.
- Uma definição recursiva tem duas partes: o valor inicial (aqui a₁ = 2) e a regra que calcula aₙ usando aₙ₋₁.
- Analisando a alternativa E, a₁ = 2 e aₙ = aₙ₋₁ + 3. Cada termo depende do anterior, somando 3. Assim: a₂ = 5, a₃ = 8, a₄ = 11, e assim por diante. Esta é a única expressão recursiva.
- A alternativa A (aₙ = 2ⁿ) é explícita, pois calcula cada termo diretamente a partir de n, sem referência ao termo anterior.
- A alternativa B (aₙ = n!) também é explícita, usando o fatorial de n diretamente.
- A alternativa C (aₙ = 5n) é explícita, com multiplicação direta de n.
- A alternativa D (aₙ = 3n − 1) é explícita, calculada diretamente em função de n.
- Conclusão: apenas a alternativa E define cada termo a partir do anterior, portanto o gabarito E está correto.
💡 Dica: Identifique a definição que expressa o termo atual em função do anterior.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter confundido a presença do valor inicial a₁ = 2 com a definição recursiva, achando que basta ter um primeiro termo dado para a sequência ser recursiva. Não percebeu que aₙ = 2ⁿ depende apenas de n.
O aluno pode ter visto o símbolo de fatorial como uma operação que 'avança' de um termo para outro, associando n! ao produto de termos anteriores. Não notou que n! é calculado diretamente pelo valor de n.
Por que engana: Confundir definição explícita com recursiva, escolhendo sequências com fórmula direta em vez de expressão em função do termo anterior.
O aluno pode ter achado que, por ser uma sequência simples e com a₁ dado, a expressão 5n já indica a progressão de um termo para o seguinte. Não identificou que a fórmula usa o índice n diretamente.
O aluno pode ter pensado que, como 3n − 1 forma uma progressão aritmética de razão 3, ela já é recursiva. Confundiu a regularidade do padrão com a dependência explícita do termo anterior.
Essa é a única expressão que calcula o termo aₙ usando o termo anterior, aₙ₋₁. Portanto, ela é uma expressão recursiva.
Raio-X da questão
sequência recursiva em progressões
diagnostico
progressão aritmética básica · função de termo geral
Estude definições recursivas e explícitas de sequências numéricas.
Confundir definição explícita com recursiva, escolhendo sequências com fórmula direta em vez de expressão em função do termo anterior.
pensamento_critico
cotidiano
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