Recorte histórico: No início do século XVII, o matemático Johannes Kepler investigou, em seus estudos de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Recorte histórico: No início do século XVII, o matemático Johannes Kepler investigou, em seus estudos de simetria, os ladrilhamentos regulares do plano. Ele observou que apenas alguns polígonos regulares podem preencher completamente a superfície sem sobreposição nem lacunas. Kepler registrou a exclusividade de três tipos de polígonos regulares para esse fim, o que fundamentou a teoria dos ladrilhamentos regulares. Analise o texto-base e identifique quais polígonos regulares permitem um ladrilhamento regular do plano sem sobreposições nem lacunas.
- A) O conjunto de quadrado e hexágono regular.
- B) O conjunto de triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular.
- C) O conjunto de triângulo equilátero, quadrado e octógono regular.
- D) O conjunto de triângulo equilátero e quadrado.
- E) O conjunto de pentágono regular, triângulo equilátero e quadrado.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Um polígono regular ladrilha o plano sem sobreposições nem lacunas quando, em torno de um vértice comum, cabem exatamente voltas completas, ou seja, quando o ângulo interno do polígono divide 360 graus de forma exata. Passo 2: Calcule o ângulo interno de cada polígono pela fórmula ((n-2) x 180)/n. Triângulo equilátero (n=3): 60 graus, e 360/60 = 6, inteiro. Quadrado (n=4): 90 graus, e 360/90 = 4, inteiro. Pentágono (n=5): 108 graus, e 360/108 não é inteiro. Hexágono (n=6): 120 graus, e 360/120 = 3, inteiro. Octógono (n=8): 135 graus, e 360/135 não é inteiro. Passo 3: Logo, os únicos polígonos regulares que ladrilham o plano são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular, que é exatamente o conjunto da alternativa B. Passo 4: A alternativa A omite o triângulo equilátero, que também ladrilha o plano. A alternativa C inclui o octógono, cujo ângulo de 135 graus não divide 360. A alternativa D omite o hexágono regular, que também ladrilha o plano. A alternativa E inclui o pentágono, cujo ângulo de 108 graus não divide 360. Passo 5: O gabarito oficial B está correto e coincide com a resolução feita de forma independente.
💡 Dica: Identifique os polígonos regulares que podem preencher o plano sem lacunas ou sobreposições.
Alternativa por alternativa
O aluno reconhece o quadrado e o hexágono, mas esquece que o triângulo equilátero também preenche o plano sem lacunas. Ele provavelmente não verificou o caso do triângulo.
Segundo Kepler, apenas esses três polígonos regulares permitem ladrilhamento regular do plano.
O aluno aceita o octógono regular porque é um polígono regular com muitos lados, sem testar se o ângulo interno de 135 graus divide 360 graus. Ele confunde regularidade com capacidade de ladrilhar.
Por que engana: Confundir quais polígonos regulares podem formar ladrilhamentos regulares, incluindo polígonos que não se encaixam perfeitamente.
O aluno identifica triângulo e quadrado, mas não considera o hexágono regular, possivelmente por achar que só polígonos com poucos lados ladrilham o plano. Ele não aplicou o teste do ângulo de 120 graus.
O aluno inclui o pentágono regular, possivelmente por intuição de simetria, sem calcular que o ângulo interno de 108 graus não divide 360 graus. Ele não aplicou o teste de divisibilidade do ângulo.
Raio-X da questão
ladrilhamento regular polígonos
avaliacao
polígonos regulares propriedades · geometria plana básica
estude propriedades dos polígonos regulares e ladrilhamentos do plano
Confundir quais polígonos regulares podem formar ladrilhamentos regulares, incluindo polígonos que não se encaixam perfeitamente.
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historico
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