Dados ilustrativos: Um grupo de arquitetos avalia formatos de ladrilhos para cobrir uniformemente o piso de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos: Um grupo de arquitetos avalia formatos de ladrilhos para cobrir uniformemente o piso de uma praça sem deixarem espaços vazios. Eles listaram quatro formas planeares: triângulos equiláteros, quadrados, paralelogramos e hexágonos regulares. Cada forma pode ser repetida lado a lado, sem sobreposição, para preencher toda a superfície. Em seguida, consideram o uso de um quinto formato — pentágonos regulares — e questionam se esse formato também possibilita esse tipo de cobertura completa do plano. Identifique qual polígono apresentado no texto-base não permite o ladrilhamento regular do plano sem lacunas.
- A) Pentágonos regulares
- B) Quadrados
- C) Hexágonos regulares
- D) Paralelogramos
- E) Triângulos equiláteros
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Para que um polígono regular cubra o plano sem lacunas nem sobreposições, a soma dos ângulos internos das peças que se encontram em cada vértice deve ser exatamente 360 graus. Para um polígono regular de n lados, cada ângulo interno vale 180(n-2)/n. Passo 2: Triângulo equilátero: ângulo de 60 graus, e 360/60 = 6, inteiro, então cobre o plano. Quadrado: ângulo de 90 graus, e 360/90 = 4, inteiro, então cobre o plano. Hexágono regular: ângulo de 120 graus, e 360/120 = 3, inteiro, então cobre o plano. Passo 3: Pentágono regular: ângulo de 108 graus, e 360/108 = 3,33..., que não é inteiro. Logo, nenhum número de pentágonos pode se encontrar em um vértice sem deixar folga ou sobreposição, e o pentágono regular não ladrilha o plano. Passo 4: Paralelogramos também cobrem o plano, pois seus ângulos são a e 180-a, e a soma a + (180-a) + a + (180-a) = 360 em cada vértice. Passo 5: Conclusão: o polígono apresentado no texto-base que não permite o ladrilhamento regular é o pentágono regular, resposta A, que coincide com o gabarito oficial. As demais alternativas estão erradas porque triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares cobrem o plano, e os paralelogramos também o cobrem, embora não sejam regulares.
💡 Dica: Analise as propriedades dos polígonos para verificar se podem cobrir o plano sem lacunas.
Alternativa por alternativa
Pentágonos regulares têm ângulo interno de 108° e 360/108 ˜ 3,33, não possibilitando divisão exata sem lacunas.
Supõe que qualquer polígono regular, e em especial o quadrado por ter ângulos retos, sempre preenche o plano sem lacunas, sem verificar a soma dos ângulos em cada vértice.
Por que engana: Confundir polígonos que podem cobrir o plano sem lacunas com aqueles que não podem, especialmente pentágonos regulares.
Acredita que quanto mais lados tem o polígono, mais difícil é ladrilhar, e por isso associa o hexágono a uma figura que deixaria espaços vazios, quando na verdade 3 hexágonos de 120 graus fecham 360 graus.
Julga que só polígonos regulares podem ladrilhar o plano e rejeita o paralelogramo por ser irregular, sem perceber que ângulos opostos iguais já bastam para fechar 360 graus em cada vértice.
Generaliza a ideia de que triângulos sempre deixam espaços vazios, confundindo triângulos em geral com o triângulo equilátero, cujos ângulos de 60 graus fecham 360 graus seis vezes em cada vértice.
Raio-X da questão
ladrilhamento regular do plano
diagnostico
polígonos regulares · propriedades geométricas
Estude as propriedades dos polígonos regulares e suas capacidades de ladrilhamento.
Confundir polígonos que podem cobrir o plano sem lacunas com aqueles que não podem, especialmente pentágonos regulares.
tomada_decisao
abstrato
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