Percorrendo antigas galerias subterrâneas, um pesquisador observou diversos padrões de azulejos nas paredes…

Questão

Percorrendo antigas galerias subterrâneas, um pesquisador observou diversos padrões de azulejos nas paredes. Em um trecho, havia apenas triângulos equiláteros unidos pelas arestas, formando um mosaico contínuo. Em outro, quadrados alinhados lado a lado, sem sobreposição ou vazios. Em um terceiro, hexágonos regulares encaixados perfeitamente. Em outros segmentos, encontravam-se pentágonos regulares, octógonos e dodecágonos tentando preencher a superfície, mas deixando pequenos espaços ou exigindo formas adicionais para completar o revestimento. Esses registros ilustram como apenas alguns polígonos regulares podem tesselar o plano sem lacunas ou sobreposições. Analise o texto-base e identifique qual das seguintes coleções de polígonos regulares pode tesselar o plano sem deixar lacunas ou sobreposições.

1. A) quadrado, hexágono regular e heptágono regular
2. B) triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular
3. C) triângulo equilátero, octógono regular e quadrado
4. D) triângulo equilátero, quadrado e pentágono regular
5. E) pentágono regular, octógono regular e dodecágono regular

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Para que um polígono regular tesselle o plano sozinho, o ângulo interno dele deve dividir 360 graus exatamente. Para uma coleção ser usada, em cada vértice os ângulos internos dos polígonos que se encontram devem somar 360 graus.
2. Ângulos internos: triângulo equilátero 60 graus; quadrado 90 graus; pentágono regular 108 graus; hexágono regular 120 graus; heptágono regular cerca de 128,57 graus; octógono regular 135 graus; dodecágono regular 150 graus.
3. Analisando B (triângulo, quadrado e hexágono): 60 + 90 + 120 + 90 = 360 graus, combinação que aparece em um vértice do mosaico chamado 3.4.6.4. Assim, a coleção B tesselle o plano sem lacunas nem sobreposições, o que confirma o gabarito.
4. Analisando A: o heptágono tem ângulo de 900/7 graus, que não é múltiplo de 30 nem divide 360, então nunca fecha um vértice; a coleção falha.
5. Analisando C: o octógono (135 graus) não combina com o triângulo (135a + 60b não fecha em 360 com a e b positivos), então o triângulo não pode aparecer junto do octógono; a coleção falha.
6. Analisando D: o pentágono (108 graus) não combina com triângulo e quadrado, porque 360 - 108 = 252 não é soma de 60 e 90; a coleção falha.
7. Analisando E: pentágono, octógono e dodecágono nenhum tesselle sozinho e não formam vértice com soma 360 entre eles, como o próprio texto sugere ao falar de espaços deixados; a coleção falha.
8. Conclusão: a única coleção em que os ângulos internos se combinam para somar 360 graus em cada vértice, sem lacunas, é a B.

💡 Dica: Analise as propriedades dos polígonos regulares e suas possibilidades de tesselar o plano.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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