Dados ilustrativos: em um estudo sobre ladrilhamento do plano, considera-se que o ângulo interno de um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos: em um estudo sobre ladrilhamento do plano, considera-se que o ângulo interno de um polígono regular de n lados é dado por 180·(n-2)/n graus. Para que um único tipo de polígono regular ocupe completamente o plano sem sobreposições nem vazios, esse ângulo interno deve ser divisor exato de 360°. Em uma tabela, registraram-se os ângulos internos de alguns polígonos regulares: - Triângulo (3 lados): 60° - Quadrado (4 lados): 90° - Pentágono (5 lados): 108° - Hexágono (6 lados): 120° Com base no critério apresentado, identifique quais polígonos regulares permitem ladrilhar completamente o plano usando apenas um tipo de polígono.
- A) Pentágonos, hexágonos e triângulos equiláteros regulares
- B) Apenas pentágonos regulares
- C) Triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares
- D) Quadrados, hexágonos e decágonos regulares
- E) Triângulos equiláteros, quadrados e pentágonos regulares
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Pelo critério do enunciado, o ângulo interno de um polígono regular deve ser divisor exato de 360°, ou seja, 360 dividido pelo ângulo deve dar número inteiro. Passo 2: Verifico o triângulo equilátero: 360/60 = 6, inteiro, então ladrilha o plano. Passo 3: Verifico o quadrado: 360/90 = 4, inteiro, então ladrilha. Passo 4: Verifico o pentágono regular: 360/108 = 3,33..., não inteiro, então não ladrilha sozinho. Passo 5: Verifico o hexágono regular: 360/120 = 3, inteiro, então ladrilha. Passo 6: Como conferência extra, o decágono regular tem ângulo 180·(10-2)/10 = 144°, e 360/144 = 2,5, não inteiro, portanto também não serve. Passo 7: Conclusão: os polígonos que ladrilham sozinhos são triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares, que é exatamente a alternativa C, coincidindo com o gabarito oficial. Passo 8: A alternativa A está errada porque inclui o pentágono; a B está errada porque o pentágono não serve; a D está errada porque o decágono não serve; a E está errada porque inclui o pentágono e omite o hexágono.
💡 Dica: Calcule o ângulo interno e verifique se divide 360° exatamente.
Alternativa por alternativa
Acredita que o pentágono regular ladrilha o plano, possivelmente por considerar suficiente que o ângulo interno seja menor que 180° ou por não testar a divisibilidade de 360 por 108.
Por que engana: Confundir quais ângulos internos dividem exatamente 360°, incluindo polígonos que não satisfazem o critério.
Supõe que o pentágono é o único polígono que ladrilha o plano sozinho, provavelmente por ter calculado 360/108 = 3,33 e interpretado a parte decimal como se fosse uma divisão exata, ou por não aplicar o critério a todos os polígonos.
Apenas os ângulos 60°, 90° e 120° dividem 360° de forma exata (6, 4 e 3 vezes, respectivamente), possibilitando ladrilhamento mono-regular.
Aceita o decágono como ladrilhador, provavelmente por erro no cálculo do ângulo interno (180·(10-2)/10 = 144°) ou por não verificar que 360/144 = 2,5 não é inteiro.
Inclui o pentágono como se 108 fosse divisor de 360 e deixa de fora o hexágono, que tem ângulo 120° e divide 360 exatamente; mistura o critério de divisibilidade com a ideia de que polígonos de poucos lados bastam.
Raio-X da questão
ângulo interno polígonos regulares
avaliacao
polígonos regulares e ângulos internos · divisores de números inteiros
estudo de ângulos internos e divisores de 360°
Confundir quais ângulos internos dividem exatamente 360°, incluindo polígonos que não satisfazem o critério.
pensamento_critico
abstrato
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