Ao planejar um mosaico decorativo, um artista considerou diferentes polígonos regulares para cobrir uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Ao planejar um mosaico decorativo, um artista considerou diferentes polígonos regulares para cobrir uma superfície sem deixar espaços. Ele utilizou a expressão do ângulo interno de um polígono regular de n lados: ((n-2)/n)*180 graus. Aplicando a fórmula, obteve: triângulo (n=3) ? 60 graus; quadrado (n=4) ? 90 graus; pentágono regular (n=5) ? 108 graus; hexágono regular (n=6) ? 120 graus. Para que um único tipo de polígono regular preencha totalmente o plano sem lacunas, seu ângulo interno deve ser divisor exato de 360 graus. Com base no texto-base, identifique quais polígonos regulares podem tesselar o plano sem deixar espaços.
- A) Utilizar apenas quadrados e pentágonos regulares.
- B) Utilizar apenas triângulos, quadrados e hexágonos regulares.
- C) Utilizar apenas hexágonos e pentágonos regulares.
- D) Utilizar apenas triângulos e pentágonos regulares.
- E) Utilizar apenas pentágonos regulares.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calculo os ângulos internos a partir da fórmula dada, ((n-2)/n)*180. Triângulo: 60 graus. Quadrado: 90 graus. Pentágono: 108 graus. Hexágono: 120 graus. Passo 2: Para que um único tipo de polígono regular tesele o plano, o ângulo interno deve dividir 360 exatamente. 360/60 = 6, 360/90 = 4 e 360/120 = 3 são exatos, portanto triângulos, quadrados e hexágonos servem. Passo 3: Para o pentágono, 360/108 = 3,33..., não é exato, logo pentágonos regulares não tesselam sozinhos. Passo 4: Como o enunciado pergunta quais polígonos podem tesselar sem lacunas, a alternativa que lista exatamente os polígonos que cumprem essa condição é a B, e o gabarito oficial coincide com essa conclusão. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A mistura de quadrados e pentágonos não fecha 360 graus com outras combinações possíveis, pois 90a+108b=360 só tem solução com b=0; C hexágonos e pentágonos não fecham, pois 120a+108b=360 só admite b=0 e a=3, sem pentágonos; D triângulos e pentágonos não fecham, pois 60a+108b=360 só admite b=0; E pentágonos sozinhos não tesselam, pois 360/108 não é inteiro. Passo 6: Conclusão: apenas triângulos, quadrados e hexágonos regulares tesselam o plano sem lacunas, o que corresponde à alternativa B.
💡 Dica: Calcule o ângulo interno e verifique se divide 360 graus exatamente.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que basta combinar dois polígonos cujos ângulos somem 360 graus ou que o quadrado e o pentágono se encaixam, sem verificar que 90 e 108 não formam uma combinação que feche 360 graus.
Por que engana: Confundir o cálculo do ângulo interno ou não verificar se o ângulo divide 360 graus exatamente.
60, 90 e 120 são divisores de 360, então triângulo, quadrado e hexágono tesselam o plano.
O aluno acredita que, por o hexágono tesselar sozinho, pode combiná-lo com o pentágono; não testa se a soma de múltiplos de 120 e 108 chega a 360 graus.
O aluno reconhece que o triângulo tesela, mas inclui o pentágono sem verificar que 60a+108b não fecha 360 graus para nenhum b diferente de zero.
O aluno confunde o pentágono regular com um polígono que preenche o plano por ser 'muito regular' e não testa se 108 divide 360 exatamente.
Raio-X da questão
ângulo interno polígono regular
avaliacao
ângulo interno de polígono · divisores de números inteiros
estude cálculo e propriedades dos ângulos internos de polígonos regulares
Confundir o cálculo do ângulo interno ou não verificar se o ângulo divide 360 graus exatamente.
tomada_decisao
abstrato
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