Por que certos padrões geométricos repetem-se sem deixar espaços num piso? Em projetos de revestimento…

Questão

Por que certos padrões geométricos repetem-se sem deixar espaços num piso? Em projetos de revestimento, costuma-se combinar polígonos regulares de modo que, ao redor de cada vértice, as soma dos ângulos internos atinja exatamente 360°. Em um padrão que utiliza apenas triângulos equiláteros (ângulo interno de 60°) e quadrados (ângulo interno de 90°), observa-se que em cada vértice se encontram 3 triângulos e 2 quadrados. Em um grande salão de eventos, o desenhista planeja usar 180 triângulos desse tipo para o ladrilhamento completo. Considere o padrão descrito e identifique quantos quadrados serão necessários para manter a mesma proporção de tiles.

1. A) 110
2. B) 60
3. C) 150
4. D) 90
5. E) 120

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Verifique o padrão. Em cada vértice, 3 triângulos e 2 quadrados somam 3 x 60 + 2 x 90 = 180 + 180 = 360 graus, o que confirma que o ladrilhamento fecha sem espaços.
2. Conte as ocorrências de cada peça por vértice. Cada triângulo tem 3 vértices e cada quadrado tem 4 vértices. Se V é o número de vértices, há 3V 'cantos de triângulo' e 2V 'cantos de quadrado' no total.
3. Relacione com o número de peças. Como cada triângulo tem 3 cantos, o número de triângulos é T = 3V / 3 = V. Como cada quadrado tem 4 cantos, o número de quadrados é S = 2V / 4 = V / 2. Logo, a proporção é T : S = 2 : 1.
4. Aplique aos dados. Com T = 180 triângulos, temos V = 180 e S = 180 / 2 = 90 quadrados. Alternativa correta: D (90).
5. Por que as outras estão erradas. A (110) não corresponde a nenhuma relação entre 3, 2, 4 e 180 do padrão. B (60) é o resultado de 180 / 3, que conta vértices por triângulo mas ignora que cada quadrado tem 4 vértices. C (150) usa 180 x 5/6, misturando o total de peças por vértice com uma proporção que não existe no padrão. E (120) usa 180 x 2/3, aplicando a razão de cantos de forma invertida e sem considerar os 4 vértices do quadrado.

💡 Dica: Use a soma dos ângulos e proporção para calcular a quantidade de quadrados.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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