Durante a restauração de uma praça histórica em Ouro Preto, uma equipe decidiu reproduzir um piso formado por…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a restauração de uma praça histórica em Ouro Preto, uma equipe decidiu reproduzir um piso formado por cópias congruentes de um único polígono regular. As peças deveriam ser colocadas lado a lado, sem sobreposição nem lacunas, de modo que vários vértices das peças coincidissem em cada ponto de encontro. Para analisar a possibilidade, a equipe utilizou a expressão do ângulo interno de um polígono regular de n lados: I = ((n - 2) × 180°)/n. Em qualquer ladrilhamento desse tipo, a soma dos ângulos internos que se encontram em cada vértice deve ser igual a 360°. Com base no texto e na condição de que sejam usadas apenas cópias congruentes de um mesmo polígono regular, quais polígonos permitem ladrilhar completamente o plano, sem deixar lacunas?
- A) Triângulos equiláteros, pentágonos e octógonos regulares
- B) Triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares
- C) Triângulos equiláteros, hexágonos e octógonos regulares
- D) Triângulos equiláteros, quadrados e pentágonos regulares
- E) Quadrados, hexágonos e decágonos regulares
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Para ladrilhar o plano com cópias de um mesmo polígono regular de n lados, é preciso que k peças encontrem-se em cada vértice, de modo que k × I = 360°, com k inteiro e maior ou igual a 3. Passo 2: Substituindo I = ((n - 2) × 180)/n, obtemos k × (n - 2) × 180/n = 360, ou seja, k = 2n/(n - 2). Passo 3: Para que k seja inteiro, (n - 2) deve dividir 2n, o que equivale a dividir 2(n - 2) + 4, isto é, (n - 2) deve dividir 4. Assim, n - 2 pode ser 1, 2 ou 4, o que dá n = 3, n = 4 ou n = 6. Passo 4: Verificando: triângulo equilátero (n = 3, I = 60°, k = 6); quadrado (n = 4, I = 90°, k = 4); hexágono regular (n = 6, I = 120°, k = 3). Passo 5: Portanto a resposta correta é a alternativa B, que é também o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: na A, o pentágono (I = 108°) não divide 360° e o octógono (I = 135°) também não; na C, o octógono (I = 135°) não tiela o plano; na D, o pentágono (I = 108°) não serve, pois 360/108 não é inteiro; na E, o decágono (I = 144°) não serve, pois 360/144 = 2,5, e o triângulo equilátero, que funciona, foi omitido.
💡 Dica: Calcule os ângulos internos e verifique quais polígonos podem preencher o plano sem lacunas.
Alternativa por alternativa
Acredita que pentágonos e octógonos regulares também ladrilham o plano, talvez por supor que qualquer polígono com muitos lados e ângulos internos próximos de 120° pode preencher a volta em torno do vértice.
Se k cópias do polígono se encontram em cada vértice, deve valer kI = 360°, em que k é um número inteiro maior ou igual a 3. Substituindo I = ((n - 2) × 180°)/n, obtém-se k(n - 2) = 2n, ou k = 2n/(n - 2). Para n = 3, k = 6; para n = 4, k = 4; e para n = 6, k = 3. Esses valores são inteiros e correspondem, respectivamente, ao ladrilhamento por triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares. Para n maior que 6, o valor de k fica entre 2 e 3, não podendo ser um número inteiro maior ou igual a 3. Portanto, apenas esses três polígonos regulares satisfazem a condição.
Considera que o octógono regular ladrilha o plano, sem verificar se 360° é múltiplo do seu ângulo interno de 135°, e assume que polígonos com mais lados também servem.
Aceita o pentágono regular por intuição visual, achando que algumas peças podem encaixar com pequenas lacunas ou sobreposições, sem testar a soma 360° com o ângulo de 108°.
Inclui o decágono regular, cujo ângulo interno de 144° não divide 360°, e ainda descarta o triângulo equilátero, o que indica lacuna na compreensão da condição de soma 360° em cada vértice.
Raio-X da questão
ladrilhamento com polígonos regulares
avaliacao
ângulos internos de polígonos · propriedades de polígonos regulares
estude ângulos internos de polígonos regulares e condições para ladrilhamento
confundir quais polígonos regulares podem preencher o plano sem deixar espaços, ignorando a soma dos ângulos ao redor de um ponto.
pensamento_critico
cientifico
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