Arcos elegantes formam a estrutura de uma nova ponte de passagem sobre o rio Sereno. Estudiosos ajustaram um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Arcos elegantes formam a estrutura de uma nova ponte de passagem sobre o rio Sereno. Estudiosos ajustaram um modelo matemático para a seção transversal de cada arco. A altura h, em metros, do arco a uma distância x metros do apoio lateral é dada por h(x)= -0.5 x^2 + 4x + 2. Esse modelo define uma curva simétrica que descreve o perfil do arco. Analise o texto-base e identifique as coordenadas do vértice da curva dada pela função e determine sua concavidade.
- A) (4, 10) e concavidade para baixo
- B) (2, 6) e concavidade para baixo
- C) (4, -10) e concavidade para cima
- D) (-4, 10) e concavidade para baixo
- E) (4, 10) e concavidade para cima
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes da função quadrática h(x) = -0,5x^2 + 4x + 2, com a = -0,5, b = 4 e c = 2. Passo 2: Calcule a abscissa do vértice por x_v = -b/(2a) = -4/(2·(-0,5)) = -4/(-1) = 4. Passo 3: Calcule a ordenada do vértice substituindo x = 4: h(4) = -0,5·16 + 4·4 + 2 = -8 + 16 + 2 = 10. Assim, o vértice é (4, 10), que é o ponto mais alto do arco. Passo 4: Analise a concavidade pelo sinal de a. Como a = -0,5 é negativo, a parábola tem concavidade para baixo, o que é coerente com um arco que sobe, atinge um topo e desce. Passo 5: Conclusão: a alternativa correta é a A, (4, 10) com concavidade para baixo, o que coincide com o gabarito oficial. A alternativa B está errada porque (2, 6) não é o vértice, pois h(2) = 8 e a abscissa 2 não sai da fórmula. A alternativa C está errada porque o sinal da ordenada está trocado (h(4) = 10, não -10) e a concavidade para cima exigiria a positivo. A alternativa D está errada porque a abscissa é 4 e não -4, já que a fórmula -b/(2a) mantém o sinal negativo do numerador. A alternativa E está errada porque, embora o vértice (4, 10) esteja correto, a concavidade é para baixo e não para cima, pois a é negativo.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula e analise o coeficiente do termo quadrático para a concavidade.
Alternativa por alternativa
O vértice tem x= -b/(2a)=4, h(4)=10, e coeficiente a<0 indica concavidade para baixo.
O aluno tomou o termo independente c = 2 como abscissa do vértice e não aplicou a fórmula x_v = -b/(2a). O valor 6 para a ordenada também não corresponde a h(2) = 8, indicando erro de cálculo.
Por que engana: Confundir o sinal do coeficiente quadrático e calcular incorretamente as coordenadas do vértice.
O aluno calculou a ordenada com sinal trocado, obtendo -10 em vez de 10, e associou a concavidade para cima sem observar que o coeficiente a = -0,5 é negativo.
O aluno esqueceu o sinal negativo do numerador da fórmula x_v = -b/(2a), escrevendo b/(2a) = 4/(-1) = -4. Acertou a concavidade, mas a abscissa ficou errada.
O aluno encontrou corretamente o vértice (4, 10), mas associou concavidade para cima ao coeficiente negativo, confundindo o sinal de a com a direção da curva.
Raio-X da questão
vértice e concavidade da parábola
avaliacao
função quadrática básica
Estude como encontrar o vértice de uma função quadrática e interpretar o coeficiente do termo quadrático.
Confundir o sinal do coeficiente quadrático e calcular incorretamente as coordenadas do vértice.
pensamento_critico
cotidiano
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