Por que a ponte de arcos tem formato parabólico, oferecendo equilíbrio entre altura e resistência? Engenheiros…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que a ponte de arcos tem formato parabólico, oferecendo equilíbrio entre altura e resistência? Engenheiros modelaram o perfil de um arco por meio da função h(x)= -0,5x^2 + 4x + 2, em que x representa a distância, em metros, a partir de um dos pilares, e h(x) indica a altura do arco, em metros, acima do nível do chão. Esse formato assegura que o arco suporte carga e ofereça espaço de passagem. Para verificar o ponto de maior elevação, investigue o valor máximo da função h(x) nesse intervalo. Analise o texto-base e determine a altura máxima alcançada pelo arco e em que distância do pilar isso ocorre.
- A) altura maxima de 8 m ao x = 2 m
- B) altura maxima de 8 m ao x = 4 m
- C) altura maxima de 2 m ao x = 8 m
- D) altura maxima de -22 m ao x = -4 m
- E) altura maxima de 10 m ao x = 4 m
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes de h(x) = -0,5x^2 + 4x + 2, com a = -0,5, b = 4 e c = 2. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice. Passo 2: Calcule a abscissa do vértice com x = -b/(2a) = -4/(2 · (-0,5)) = -4/(-1) = 4 metros. Passo 3: Calcule a altura máxima substituindo x = 4 na função: h(4) = -0,5 · 16 + 4 · 4 + 2 = -8 + 16 + 2 = 10 metros. Passo 4: Conclusão: o arco atinge altura máxima de 10 m a 4 m do pilar, o que corresponde à alternativa E, igual ao gabarito oficial. Passo 5: Verificação das outras alternativas: a alternativa A está errada porque h(2) = 8, e x = 2 não é o vértice; a alternativa B está errada porque h(4) = 10, e não 8; a alternativa C está errada porque 2 m é o valor de h(0), a altura inicial do arco, e não o máximo; a alternativa D está errada porque a altura de um arco não pode ser -22 m neste contexto e x = -4 não é o vértice.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola para encontrar a altura máxima e a distância correspondente.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou a abscissa do vértice como b/2 = 2, esquecendo de dividir por a, e depois usou esse x como se fosse o ponto de máximo; o valor 8 m vem de h(2), que é apenas um ponto da curva.
O aluno encontrou corretamente x = 4, mas ao substituir na função esqueceu o termo constante +2, obtendo -8 + 16 = 8 m.
Por que engana: Confundir o valor do x que maximiza a função com outro ponto ou calcular incorretamente o vértice da parábola.
O aluno confundiu a altura inicial do arco, h(0) = 2 m, com a altura máxima, e calculou x = -b/a = 8 esquecendo o fator 2 do denominador.
O aluno trocou sinais no cálculo do vértice, obtendo x = -4, e acreditou que a altura máxima poderia ser negativa, o que não faz sentido para a altura de um arco acima do chão.
O vértice de h(x)= -0,5x^2+4x+2 ocorre em x= -b/(2a)=4 m, com h(4)=10 m.
Raio-X da questão
função quadrática e vértice
avaliacao
função quadrática básica · cálculo do vértice da parábola
estude cálculo do vértice de função quadrática e interpretação de gráficos
Confundir o valor do x que maximiza a função com outro ponto ou calcular incorretamente o vértice da parábola.
tomada_decisao
cotidiano
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