Por que o vão central de algumas pontes tem formato curvo? Para otimizar a resistência e a estética…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que o vão central de algumas pontes tem formato curvo? Para otimizar a resistência e a estética, engenheiros costumam modelar o arco da ponte por uma função quadrática. Em um projeto, a altura h (em metros) do arco em relação à base, medido a uma distância x (em metros) do centro, segue a expressão h(x)=-0,05x^2+2x+3. Nesse modelo, x varia de 0 até 40, cobrindo toda a extensão equivalente à metade do arco. Analise o texto-base e identifique as coordenadas do vértice da parábola e sua concavidade.
- A) Vértice em (-20,23) e abre para baixo
- B) Vértice em (20,-23) e abre para cima
- C) Vértice em (10,13) e abre para baixo
- D) Vértice em (20,23) e abre para baixo
- E) Vértice em (20,13) e abre para cima
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identificar os coeficientes da função h(x)=-0,05x^2+2x+3: a = -0,05, b = 2 e c = 3. Como a é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo (abre para baixo).
- Calcular a coordenada x do vértice com a fórmula xv = -b/(2a). Temos xv = -2/(2·(-0,05)) = -2/(-0,1) = 20.
- Calcular a coordenada y do vértice substituindo x = 20 na função: h(20) = -0,05·400 + 2·20 + 3 = -20 + 40 + 3 = 23. Logo, o vértice é (20, 23).
- Conferir com o gabarito oficial. Minha resolução chegou à alternativa D, vértice em (20,23) com concavidade para baixo, que coincide com o gabarito.
- Verificar por que as outras alternativas estão erradas. A: o sinal da abscissa está invertido, pois xv é 20 e não -20. B: a concavidade está errada, pois a é negativo, e a ordenada 23 não é -23. C: a abscissa 10 vem de um erro na fórmula (usar 4a no lugar de 2a), e a ordenada 13 não corresponde a h(10), que vale 18. E: a concavidade está errada, pois a parábola abre para baixo, e a ordenada 13 está incorreta.
- Conclusão: o vértice da parábola é (20, 23) e a concavidade é para baixo, alternativa D.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula -b/2a e avalie o coeficiente de x² para determinar a concavidade.
Alternativa por alternativa
Calculou a abscissa do vértice como b/(2a) em vez de -b/(2a), obtendo -20 e trocando o sinal do resultado.
Acredita que a concavidade depende do sinal de b ou ignora o sinal negativo de a, e também trocou o sinal da ordenada do vértice.
Usou 4a no denominador da fórmula de xv (obtendo 10 em vez de 20) e não calculou corretamente h(10), que vale 18, não 13.
Por que engana: Confundir o sinal do coeficiente quadrático e calcular incorretamente as coordenadas do vértice.
x_v=-b/(2a)=-2/(2·-0,05)=20; h(20)=23; a=-0,05<0, logo concavidade para baixo.
Acertou a abscissa, mas errou o cálculo da ordenada e afirmou que a parábola abre para cima, como se o coeficiente de x^2 fosse positivo.
Raio-X da questão
vértice e concavidade da parábola
avaliacao
função quadrática básica
Estude como encontrar o vértice e a concavidade de funções quadráticas.
Confundir o sinal do coeficiente quadrático e calcular incorretamente as coordenadas do vértice.
pensamento_critico
cotidiano
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