Por que o movimento das pessoas em um espaço público pode ser representado por uma parábola? Dados…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que o movimento das pessoas em um espaço público pode ser representado por uma parábola? Dados ilustrativos: a administração de um parque registrou o número de visitantes diários P(x) descrito pela função P(x) = -2x^2 + 120x + 8000, em que x é o número de dias desde a inauguração. Esse modelo reflete o aumento gradual de público até um ponto máximo e, em seguida, uma queda proporcional ao quadrado dos dias. A representação geométrica dessa função no plano cartesiano revela a posição e o valor máximo de visitantes em seu vértice. Analise a função quadrática apresentada e determine as coordenadas do vértice do seu gráfico no plano cartesiano.
- A) (30, 10000)
- B) (30, -9800)
- C) (-30, 9800)
- D) (15, 8900)
- E) (30, 9800)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes da função P(x) = -2x^2 + 120x + 8000, com a = -2, b = 120 e c = 8000. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é um ponto de máximo, o que corresponde ao maior número de visitantes.
- Calcule a abscissa do vértice pela fórmula x_v = -b/(2a). Temos x_v = -120/(2 · -2) = -120/(-4) = 30. Ou seja, o máximo ocorre 30 dias após a inauguração.
- Calcule a ordenada do vértice substituindo x = 30 na função: P(30) = -2 · 30^2 + 120 · 30 + 8000 = -2 · 900 + 3600 + 8000 = -1800 + 3600 + 8000 = 9800.
- Logo, as coordenadas do vértice são (30, 9800), que é a alternativa E, em concordância com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A tem ordenada 10000, valor que não corresponde a P(30). A alternativa B inverte o sinal do valor máximo, o que não faz sentido porque o vértice de máximo tem visitantes positivos. A alternativa C troca o sinal da abscissa, o que contraria a fórmula -b/(2a). A alternativa D usa a fórmula com 4a no denominador, obtendo x = 15, que não é a abscissa do vértice.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula -b/2a para x e substitua na função para y.
Alternativa por alternativa
O aluno encontrou x = 30 corretamente, mas errou o cálculo de P(30), obtendo 10000 em vez de 9800. Provavelmente somou ou subtraiu valores de forma incorreta ao final da substituição.
O aluno calculou o valor de P(30) com sinal trocado, achando que o máximo de visitantes é negativo. Isso indica desatenção ao sinal do resultado ou confusão entre o valor do vértice e o termo -2x^2.
O aluno aplicou a fórmula x = -b/(2a) com erro de sinal, obtendo -30 em vez de 30. Ele não percebeu que o produto 2a é negativo, o que inverte o sinal do resultado.
O aluno usou a fórmula x = -b/(4a), que pertence ao cálculo do discriminante e das raízes, e não ao vértice, obtendo x = 15. Além disso, a ordenada 8900 não corresponde a P(15), que é 9350.
Por que engana: Confundir o sinal de 'a' na fórmula do vértice ou calcular incorretamente o valor de y substituindo x.
x_v = -b/(2a)=120/4=30 e P(30)= -2(900)+3600+8000=9800, logo vértice (30,9800).
Raio-X da questão
função quadrática e vértice
avaliacao
função quadrática básica · fórmula do vértice
Estude cálculo do vértice de funções quadráticas e interpretação gráfica.
Confundir o sinal de 'a' na fórmula do vértice ou calcular incorretamente o valor de y substituindo x.
pensamento_critico
cotidiano
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