Uma cafeteria independente observou que o lucro diário, em centenas de reais, depende do número x de porções…

Questão

Uma cafeteria independente observou que o lucro diário, em centenas de reais, depende do número x de porções de cappuccino vendidas. Após análise de vendas e custos, os donos ajustaram o modelo de lucro p(x) = -2x^2 + 8x + 3. Esse modelo gera uma parábola que abre para baixo, indicando um ponto de lucro máximo. Os dados foram coletados continuamente durante um mês, permitindo representar a função no plano cartesiano e identificar características geométricas relevantes. Os proprietários querem saber em que quantidade de vendas o lucro atinge seu valor máximo e qual é esse valor. Com base no texto, determine as coordenadas do vértice da parábola que representa o lucro diário.

1. A) (2,3)
2. B) (2,11)
3. C) (-2,11)
4. D) (2,-11)
5. E) (4,3)

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. A função é p(x) = -2x^2 + 8x + 3, com a = -2, b = 8 e c = 3. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é o ponto de lucro máximo.
2. A abscissa do vértice é x_v = -b/(2a) = -8/(2·(-2)) = -8/(-4) = 2. Assim, o lucro máximo ocorre com 2 centenas de porções vendidas, ou seja, 200 porções de cappuccino, se x for interpretado como centenas.
3. A ordenada do vértice é o valor de p(2) = -2·2^2 + 8·2 + 3 = -2·4 + 16 + 3 = -8 + 16 + 3 = 11. Logo, o lucro máximo é 11 centenas de reais, ou seja, 1.100 reais por dia.
4. Portanto, o vértice é (2, 11), que corresponde à alternativa B, coincidindo com o gabarito oficial.
5. A alternativa A está errada porque o valor 3 é o termo constante c, que corresponde ao lucro quando x = 0, e não ao máximo.
6. A alternativa C está errada porque o valor -2 surge de um erro de sinal no cálculo de -b/(2a), e a concavidade para baixo não implica abscissa negativa.
7. A alternativa D está errada porque o lucro máximo não pode ser negativo, já que a parábola tem vértice no ponto mais alto do gráfico, e o valor -11 contradiz o cálculo de p(2).
8. A alternativa E está errada porque o valor 4 resulta de dividir -b por a em vez de por 2a, e o valor 3 novamente é apenas o termo constante.

💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula -b/2a para x e substitua em p(x).

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Dados ilustrativos: um confeiteiro artesanal analisa como o lucro L, em reais, varia com o número x de bolos vendidos em…
• Um relatório de mercado aponta que uma cervejaria artesanal avaliou o lucro mensal (em milhares de reais) em função do…
• Dados ilustrativos: Uma rede de cafeterias avaliou o impacto de campanhas de publicidade no lucro diário. A análise…
• Depois de duas semanas vendendo velas artesanais em uma feira, uma estudante registrou que o lucro mensal do negócio, em…
• Ao administrar seu ateliê de móveis sob medida, Mariana percebeu que o lucro mensal (em reais) ao vender x unidades de…
• — Você já pensou como ajustar o preço do ingresso para obter o maior lucro num festival de cinema itinerante? —…

Todas as questões de Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano