— Professora, por que quando elevamos muito o preço do ingresso a arrecadação diminui? — questionou Marina…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Professora, por que quando elevamos muito o preço do ingresso a arrecadação diminui? — questionou Marina durante a aula de economia. A docente explicou que, no parque temático, a arrecadação diária R(p), em centenas de reais, varia com o preço p do ingresso, em reais, segundo a função quadrática R(p)=-2p^2+80p-600. Ela mostrou que esse modelo forma uma parábola no plano cartesiano cujo ponto mais alto indica o preço que maximiza a arrecadação. Analise o texto-base e identifique as coordenadas do vértice da parábola que representa a arrecadação em função do preço do ingresso.
- A) (40, 200)
- B) (20, 100)
- C) (10, 140)
- D) (20, -200)
- E) (20, 200)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identificamos os coeficientes da função quadrática R(p) = -2p^2 + 80p - 600, com a = -2, b = 80 e c = -600. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui ponto mais alto, que é o vértice.
- A abscissa do vértice é dada por p = -b/(2a). Temos p = -80/(2 x (-2)) = -80/(-4) = 20 reais.
- Calculamos a ordenada do vértice substituindo p = 20 na função: R(20) = -2 x 20^2 + 80 x 20 - 600 = -800 + 1600 - 600 = 200. Logo, o vértice é (20, 200), ou seja, o preço que maximiza a arrecadação é 20 reais e a arrecadação máxima é 200 (centenas de reais).
- Comparando com o gabarito oficial, a resposta E está correta e coincide com a nossa resolução, feita sem depender do gabarito.
- A alternativa A está errada, pois 40 é o resultado de -b/a, esquecendo o fator 2 do denominador. A alternativa B está errada, pois o preço 20 está certo, mas o valor 100 resulta de erro aritmético no cálculo de R(20). A alternativa C está errada, pois o ponto 10 é uma raiz de R(p), isto é, um preço em que a arrecadação é zero, e não o vértice. A alternativa D está errada, pois a abscissa 20 está certa, mas o sinal da ordenada está trocado; a arrecadação máxima é positiva.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula -b/2a para p e substitua para encontrar R(p).
Alternativa por alternativa
O aluno calculou a abscissa do vértice como -b/a, esquecendo de multiplicar o a por 2 no denominador, e obteve 40 em vez de 20.
O aluno encontrou o preço correto 20, mas errou a substituição ou a soma em R(20) e obteve 100 em vez de 200.
Por que engana: Confundir o cálculo do vértice ou esquecer que o coeficiente a é negativo, levando a erro no valor do preço que maximiza a arrecadação.
O aluno confundiu o vértice com uma raiz da função: resolvendo p^2 - 40p + 300 = 0 obtém p = 10 e p = 30, onde a arrecadação é zero, e tomou um desses valores como ponto mais alto.
O aluno acertou a abscissa 20, mas trocou o sinal do resultado da função na ordenada, obtendo -200, como se a parábola tivesse máximo negativo, o que contraria o contexto de arrecadação positiva.
x_v=-b/(2a)=-80/(2·-2)=20 e R(20)=-2·400+1600-600=200, logo vértice em (20,200).
Raio-X da questão
vértice da parábola
avaliacao
função quadrática · cálculo do vértice
Estude funções quadráticas e cálculo do vértice da parábola.
Confundir o cálculo do vértice ou esquecer que o coeficiente a é negativo, levando a erro no valor do preço que maximiza a arrecadação.
tomada_decisao
cotidiano
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