Em meados do século XX, parques de diversões definiram o número diário de visitantes como função do preço do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em meados do século XX, parques de diversões definiram o número diário de visitantes como função do preço do ingresso. Pesquisas ilustrativas indicam que a quantidade de visitantes q(p) em função do preço p (em reais) é q(p)=5000-50p. Dessa forma, o faturamento diário R(p)=p·q(p) é dado pela função polinomial de 2º grau R(p)=-50p^2+5000p. Analise o texto-base e identifique as coordenadas do vértice da parábola que representa R(p) no plano cartesiano, sabendo que p é o eixo horizontal e R(p) o eixo vertical.
- A) (50,100000)
- B) (50,125000)
- C) (25,62500)
- D) (40,80000)
- E) (50,250000)
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes de R(p) = -50p^2 + 5000p: a = -50, b = 5000 e c = 0. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é um ponto de máximo, que corresponde ao preço que maximiza o faturamento.
- Calcule a abscissa do vértice pela fórmula p_v = -b/(2a) = -5000/(2 x (-50)) = -5000/(-100) = 50. Assim, o preço que maximiza o faturamento é R$ 50,00.
- Calcule a ordenada do vértice substituindo p = 50 em R(p): R(50) = -50 x 50^2 + 5000 x 50 = -50 x 2500 + 250000 = -125000 + 250000 = 125000.
- Logo, o vértice é (50, 125000), ou seja, p_v = 50 no eixo horizontal e R_v = 125000 no eixo vertical. Essa coordenada coincide com a alternativa B, que é o gabarito oficial. Conferindo: q(50) = 5000 - 2500 = 2500 visitantes, e 50 x 2500 = 125000, o que confirma o faturamento máximo.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A tem a abscissa correta, mas a ordenada errada, pois R(50) não é 100000; a alternativa C usa a abscissa errada 25, que corresponde a uma fórmula incorreta de vértice; a alternativa D tem abscissa 40 que não é o vértice; a alternativa E tem ordenada 250000, que é apenas o termo 5000p avaliado em p = 50, ignorando o termo quadrático.
💡 Dica: Use a fórmula do vértice da parábola para encontrar as coordenadas.
Alternativa por alternativa
O aluno acertou o preço p = 50, mas errou o cálculo de R(50), obtendo 100000 em vez de 125000, provavelmente por erro de sinal ou de aritmética ao somar -125000 e 250000.
Por que engana: Calcular incorretamente o vértice, confundindo os sinais ou a fórmula.
O vértice ocorre em p=-b/(2a)=-5000/(2·-50)=50 e R(50)=-50·50^2+5000·50=125000.
O aluno usou a fórmula errada para a abscissa, como -b/(4a) = -5000/(-200) = 25, confundindo com a fórmula da raiz de Bhaskara, e depois calculou a ordenada com esse valor.
O aluno tomou p = 40 como abscissa do vértice, possivelmente confundindo o vértice com o preço que faz a quantidade de visitantes ser 3000, já que 5000 - 50p = 3000 quando p = 40, e não com o ponto de máximo do faturamento.
O aluno encontrou corretamente p = 50, mas usou como ordenada apenas o termo 5000p, isto é 250000, esquecendo o termo -50p^2 na substituição.
Raio-X da questão
vértice da parábola
avaliacao
função quadrática · fórmula do vértice
Estude como calcular o vértice de uma função quadrática.
Calcular incorretamente o vértice, confundindo os sinais ou a fórmula.
tomada_decisao
cotidiano
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