Crescimento de colônia bacteriana: em um experimento controlado, o número de bactérias (em milhares) é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Crescimento de colônia bacteriana: em um experimento controlado, o número de bactérias (em milhares) é modelado por f(t)=5·3^t, onde t é o tempo em horas. Na tabela abaixo, estão alguns valores de f e, ao lado, os valores de uma função g tais que g(f(t))=t. Tabela 1: t | f(t) 0 | 5 1 | 15 2 | 45 3 | 135 Tabela 2: y | g(y) 5 | 0 15 | 1 45 | 2 135 | 3 Analise as tabelas de valores de f e g e determine a expressão algébrica que define g(y), inversa de f.
- A) g(y)=log(y/3)/log(5)
- B) g(y)=log(y)/(5·log3)
- C) g(y)=log3(y)/5
- D) g(y)=log(y)·log(3/5)
- E) g(y)=log(y/5)/log(3)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Resolvi sem usar o gabarito. Partimos de y = f(t) = 5·3^t. Passo 2: Isolamos a exponencial dividindo ambos os lados por 5, o que dá 3^t = y/5. Passo 3: Aplicamos logaritmo de base 3 nos dois lados, obtendo t = log_3(y/5). Passo 4: Pela mudança de base, log_3(y/5) = log(y/5)/log(3), que é a expressão g(y). Passo 5: Conferimos com a tabela: g(5) = log(1)/log(3) = 0, g(15) = log(3)/log(3) = 1, g(45) = log(9)/log(3) = 2 e g(135) = log(27)/log(3) = 3, todos batendo com os valores da Tabela 2. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A: g(5) = log(5/3)/log(5) é diferente de zero, então não reproduz a tabela, pois troca o fator 5 pelo 3 dentro do logaritmo. B: g(5) = log(5)/(5·log(3)) não é zero, pois o 5 aparece como divisor externo em vez de ser subtraído dentro do logaritmo. C: g(5) = log_3(5)/5 não é zero, pois divide o resultado pelo 5 em vez de deslocar o argumento. D: g(5) = log(5)·log(0,6) não é zero e o produto de dois logaritmos não tem relação com a inversa de uma função exponencial. Conclusão: a alternativa correta é a E, coincidindo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use propriedades dos logaritmos para encontrar a função inversa.
Alternativa por alternativa
O aluno inverte os papéis de 3 e 5, dividindo y por 3 dentro do logaritmo e usando log(5) no denominador, como se a base da exponencial fosse o 5.
Por que engana: Confundir a base do logaritmo ou esquecer de dividir pelo coeficiente na função inversa.
O aluno trata o fator 5 como divisor externo, escrevendo log(y)/(5·log3), e não percebe que a constante multiplicativa deve sair como subtração dentro do logaritmo, ou seja, log(y/5).
O aluno divide o expoente por 5 e usa log de base 3 de y, achando que a constante 5 deve afetar o resultado final em vez do argumento do logaritmo.
O aluno acredita que a inversa de uma exponencial pode ser obtida multiplicando logaritmos, sem perceber que a inversa usa logaritmo do quociente y/5 dividido por log(3).
g(y)=t implica 5·3^t=y, então t=log(y/5)/log3, que coincide com os pares da tabela.
Raio-X da questão
função inversa e logaritmos
avaliacao
função exponencial · propriedades dos logaritmos
Estude propriedades dos logaritmos e definição de função inversa.
Confundir a base do logaritmo ou esquecer de dividir pelo coeficiente na função inversa.
pensamento_critico
cientifico
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