Por que algumas culturas de células crescem tão rapidamente? Em um laboratório de microbiologia, pesquisadores…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que algumas culturas de células crescem tão rapidamente? Em um laboratório de microbiologia, pesquisadores acompanharam o aumento de bactérias que se duplicam a cada 3 horas. Os resultados iniciais, registrados em uma tabela, mostraram que, no tempo t = 0 h, havia 2 000 unidades; em t = 3 h, 4 000; em t = 6 h, 8 000; em t = 9 h, 16 000; e em t = 12 h, 32 000. Com base nesses dados, pode-se modelar a população P(t) por uma função exponencial P(t)=2000·2^{t/3}. Analise a tabela e calcule, em horas, o tempo necessário para que a população atinja 20 000 unidades.
- A) 11 horas
- B) 8 horas
- C) 9 horas
- D) cerca de 10 horas
- E) 6 horas
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Escrevo a equação do modelo e impomos P(t) = 20 000: 2000 · 2^(t/3) = 20 000. Passo 2: Dividimos os dois lados por 2000, obtendo 2^(t/3) = 10. Passo 3: Aplicamos logaritmo na base 2 (ou tomamos o logaritmo de ambos os lados), obtendo t/3 = log na base 2 de 10, que é aproximadamente 3,32. Passo 4: Multiplicamos por 3, e t é aproximadamente 9,97 horas, ou seja, cerca de 10 horas. Passo 5: Conferimos com a tabela e com o modelo: em t = 9 h a população é 16 000 e em t = 12 h é 32 000, então 20 000 fica entre esses dois instantes, mais perto de 10 h. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A (11 horas) ultrapassa o valor, pois P(11) é cerca de 25 400; B (8 horas) fica abaixo, pois P(8) é cerca de 12 700; C (9 horas) dá 16 000, valor ainda abaixo de 20 000; E (6 horas) dá 8 000, muito abaixo. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Use a função exponencial dada para encontrar o tempo t quando P(t) = 20.000.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente arredondou o expoente de forma exagerada ou fez a conta de forma aproximada demais, passando do ponto em que a população chega a 20 000. Também pode ter assumido que cada 3 horas dobra e errou a potência de 2 ao estimar t/3.
O aluno provavelmente estimou o tempo por interpolação linear entre pontos da tabela ou fez uma conta aproximada errada de 2^(8/3), subestimando o valor que a população atinge.
Por que engana: O aluno pode confundir o tempo de duplicação ou não aplicar corretamente a fórmula exponencial para encontrar t.
O aluno provavelmente leu a tabela e escolheu o instante mais próximo cuja população (16 000) está perto de 20 000, sem resolver a equação exponencial. Ele confunde 'valor próximo' com 'valor exato' e não percebe que 16 000 ainda não atinge 20 000.
Resolve-se 20000=2000·2^{t/3} ?2^{t/3}=10 ?t/3=log2(10)˜3,322 ?t˜9,966˜10 h.
O aluno provavelmente confundiu o tempo com o valor da população, ou supôs que 20 000 corresponde ao dobro da população de 8 000 em 6 horas, lendo a tabela de forma superficial e sem usar o modelo exponencial.
Raio-X da questão
função exponencial crescimento
avaliacao
função exponencial básica · logaritmos simples
Estude funções exponenciais e resolução de equações exponenciais.
O aluno pode confundir o tempo de duplicação ou não aplicar corretamente a fórmula exponencial para encontrar t.
tomada_decisao
cientifico
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