Um aplicativo de finanças exibe o crescimento de um investimento inicial de R$ 1 000,00 aplicado com taxa fixa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um aplicativo de finanças exibe o crescimento de um investimento inicial de R$ 1 000,00 aplicado com taxa fixa de 5% ao mês. Os usuários têm acesso às duas tabelas abaixo: Tabela 1 – Saldo A(t) t (meses): 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 A(t) (R$): 1000 | 1050 | 1102,50 | 1157,63 | 1215,51 | 1276,28 Tabela 2 – Logaritmo da razão ao capital inicial L(t) Razão A(t)/1000: 1 | 1,05 | 1,1025 | 1,1576 | 1,2155 | 1,2763 L(t)=log10[A(t)/1000]: 0 | 0,0212 | 0,0424 | 0,0636 | 0,0848 | 0,1059 A partir das tabelas, estime após quantos meses o saldo do investimento será o dobro do valor inicial.
- A) Cerca de 20 meses
- B) Cerca de 18 meses
- C) Cerca de 3 meses
- D) Cerca de 6 meses
- E) Cerca de 14 meses
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Queremos o tempo t em que o saldo chega ao dobro do capital inicial, ou seja, A(t) = 2000. Como a taxa é de 5% ao mês com juros compostos, A(t) = 1000 x 1,05^t.
- Igualando a 2000, temos 1,05^t = 2, logo t = log10(2) / log10(1,05).
- Pelas tabelas, log10(1,05) é aproximadamente 0,0212 e log10(2) é aproximadamente 0,3010. Assim, t = 0,3010 / 0,0212, que dá cerca de 14,2 meses.
- Conferindo pela Tabela 1, em t = 14 o saldo seria 1000 x 1,05^14, cerca de 1979,93 reais, bem próximo de 2000. Logo, a resposta é cerca de 14 meses.
- Por que as outras estão erradas: 20 meses dá um saldo de cerca de 2653 reais, passando do dobro; 18 meses dá cerca de 2407 reais, também acima do dobro; 3 meses dá apenas cerca de 1158 reais, bem abaixo do dobro; 6 meses dá cerca de 1340 reais, ainda longe do dobro.
- O gabarito oficial E está correto e coincide com a resolução feita de forma independente.
💡 Dica: Use a tabela dos logaritmos para estimar quando a razão entre o saldo e o capital inicial chegará a 2.
Alternativa por alternativa
O aluno trata o crescimento como juros simples, somando 5% do capital inicial a cada mês, e conclui que 100% de ganho ocorre em 100/5 = 20 meses.
O aluno provavelmente faz uma aproximação ou cálculo numérico incorreto do logaritmo, obtendo um valor de t abaixo do real, como se log10(1,05) fosse próximo de 0,0167.
Por que engana: Confundir crescimento composto com acréscimos lineares de 5% do valor inicial, estimando um tempo menor para dobrar o investimento.
O aluno lê a tabela de forma superficial, associando o dobro do valor inicial ao tempo de 3 meses ou confundindo o valor de L(3) com o próprio crescimento para o dobro, sem verificar se o saldo atinge 2000 reais.
O aluno usa o atalho de dividir 30 por 5 (confundindo o log10(2), que vale cerca de 0,30, com 30%), chegando a 6 meses; a relação correta é log10(2) dividido por log10(1,05), e não por 0,05.
Para dobrar o capital, a razão entre o saldo e o valor inicial deve ser 2. Como log10(2) é aproximadamente 0,3010 e o logaritmo dessa razão cresce cerca de 0,0212 por mês, calculamos 0,3010/0,0212 ≈ 14,2. Portanto, o saldo dobra em cerca de 14 meses.
Raio-X da questão
Crescimento exponencial e logaritmos
avaliacao
Porcentagem e crescimento composto · Leitura de tabelas e logaritmos
Revise como usar logaritmos para estimar o tempo de duplicação em um crescimento percentual composto.
Confundir crescimento composto com acréscimos lineares de 5% do valor inicial, estimando um tempo menor para dobrar o investimento.
economia_financeira
tomada_decisao
cotidiano
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