MatemáticaUFPRBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

A análise de uma aplicação financeira ao longo do tempo mostrou que a expressão V(t) = 1000 · 2^(0,0625·t)…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

A análise de uma aplicação financeira ao longo do tempo mostrou que a expressão V(t) = 1000 · 2^(0,0625·t) fornece uma boa aproximação do valor V (em reais) em função do tempo t (em anos), desde o início da aplicação. Depois de quantos anos o valor inicialmente investido dobrará? (UFPR 2016)

A) 8.
B) 12.
C) 16.
D) 24.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

O valor inicial investido corresponde a t = 0, quando V(0) = 1000 · 2^0 = 1000 reais. Dobrar o valor significa atingir V(t) = 2000 reais.
Monte a equação 1000 · 2^(0,0625·t) = 2000.
Divida os dois lados por 1000, obtendo 2^(0,0625·t) = 2.
Como 2 = 2^1, as potências de mesma base são iguais quando os expoentes são iguais: 0,0625·t = 1.
Note que 0,0625 = 1/16. Assim, t/16 = 1, logo t = 16 anos.
Conferindo, com t = 16 temos 2^(0,0625·16) = 2^1 = 2, e V(16) = 2000 reais.
A alternativa A (8) está errada, pois em 8 anos o fator de crescimento seria 2^0,5, cerca de 1,41, e o valor não dobra. A alternativa B (12) está errada, pois em 12 anos o fator seria 2^0,75, cerca de 1,68. A alternativa D (24) está errada, pois em 24 anos o fator seria 2^1,5, cerca de 2,83, passando do dobro.
O gabarito oficial (C) está correto e coincide com a resolução feita aqui.

💡 Dica: Iguale V(t) a 2 vezes o valor inicial e resolva para t.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente leu 0,0625 como 0,125 (ou seja, 1/8) e calculou 1/0,125 = 8, usando o expoente errado na equação 0,125·t = 1.

B Erradaerro: Interpretação

O aluno provavelmente confundiu a unidade de tempo, ou tratou o 12 como se fosse a quantidade de meses em um ano, sem respeitar que t está em anos e a taxa já está associada a ele.

C Correta

CORRETA. O valor 16 anos é obtido ao resolver corretamente a equação 1000·2^(0,0625·t) = 2000, isolando t e aplicando logaritmo na base 2.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno provavelmente igualou o expoente a 1,5 sem base matemática, supondo que o dobro se obtém quando 2^x = 2^1,5, o que resulta em 0,0625·t = 1,5 e t = 24.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

crescimento exponencial, dobrar investimento

📌 Objetivo

diagnostico

🧱 Pré-requisitos

função exponencial · propriedades de potências

📚 Reveja

função exponencial e propriedades de potências

⚠️ Erro mais comum

Confundir a base da potência ou não aplicar corretamente a definição de dobrar o valor inicial.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cotidiano

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