Em uma oficina de design, uma equipe analisa quatro posições de um mesmo triângulo em um plano cartesiano. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma oficina de design, uma equipe analisa quatro posições de um mesmo triângulo em um plano cartesiano. O triângulo da posição A tem vértices (0,1), (1,1) e (0,2). Nas posições seguintes, os vértices correspondentes são: posição B: (4,1), (5,1) e (4,2); posição C: (1,-4), (1,-5) e (2,-4); posição D: (-1,-4), (-1,-5) e (-2,-4). Considere que cada posição é obtida da anterior por uma única transformação geométrica. Com base nas coordenadas apresentadas, qual sequência de transformações geométricas leva a posição A até a posição D?
- A) Translação de 4 unidades para a direita, rotação de 90° no sentido horário e reflexão em relação ao eixo y.
- B) Translação de 4 unidades para a esquerda, rotação de 90° no sentido horário e reflexão em relação ao eixo y.
- C) Rotação de 90° no sentido horário, translação de 4 unidades para a direita e reflexão em relação ao eixo y.
- D) Reflexão em relação ao eixo y, translação de 4 unidades para a direita e rotação de 90° no sentido horário.
- E) Translação de 4 unidades para a direita, reflexão em relação ao eixo y e rotação de 90° no sentido horário.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Compare a posição A com a posição B. Os vértices (0,1), (1,1) e (0,2) passam para (4,1), (5,1) e (4,2). Todas as coordenadas x aumentaram 4 unidades e as coordenadas y não mudaram, então A para B é uma translação de 4 unidades para a direita. Passo 2: Compare a posição B com a posição C. Use a regra da rotação de 90° no sentido horário em torno da origem, (x,y) para (y,-x). Aplicando: (4,1) vira (1,-4), (5,1) vira (1,-5) e (4,2) vira (2,-4). Esses são exatamente os vértices de C, então B para C é uma rotação de 90° no sentido horário. Passo 3: Compare a posição C com a posição D. Os vértices (1,-4), (1,-5) e (2,-4) passam para (-1,-4), (-1,-5) e (-2,-4). Cada x trocou de sinal e cada y foi mantido, o que caracteriza uma reflexão em relação ao eixo y, (x,y) para (-x,y). Passo 4: A sequência completa de A até D é: translação de 4 unidades para a direita, rotação de 90° no sentido horário e reflexão em relação ao eixo y, que é a alternativa A, igual ao gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas. B: a translação de 4 unidades para a esquerda leva A para (-4,1), e não para B. C: a ordem está invertida; se girarmos A primeiro e depois transladarmos e refletirmos, não chegamos a D. D: a ordem também está errada; refletir A primeiro e depois transladar e girar gera (1,-4), (1,-3) e (2,-4), que não são os vértices de D. E: a ordem está errada; transladar, refletir e girar gera (1,4), (1,5) e (2,4), que também não são os vértices de D. Conclusão: a ordem das transformações importa, e a única sequência que leva A a D é a da alternativa A.
💡 Dica: Siga a ordem das transformações geométricas indicadas no enunciado.
Alternativa por alternativa
De A para B, cada coordenada x aumenta 4 unidades, enquanto os valores de y permanecem iguais; portanto, ocorre uma translação de 4 unidades para a direita. De B para C, aplica-se a regra da rotação de 90° no sentido horário, (x,y) → (y,-x). Por exemplo, (4,1) passa a (1,-4). De C para D, os valores de y permanecem iguais e os valores de x trocam de sinal, característica da reflexão em relação ao eixo y.
O aluno percebe a translação horizontal, mas inverte o sentido: acredita que os x aumentarem de 0 para 4 significa deslocamento para a esquerda. Ele confunde o sinal da coordenada com o sentido do movimento.
O aluno identifica corretamente as três transformações, mas acredita que a ordem em que são aplicadas não altera o resultado. Não percebe que rotação e translação não comutam, pois girar depois de transladar move o triângulo para outro lugar.
O aluno inverte a ordem das operações, começando pela reflexão, e assume que a sequência pode ser lida em qualquer ordem. Ao aplicar as transformações nessa ordem, o triângulo não chega às coordenadas de D.
O aluno coloca a rotação por último e não verifica se a sequência reproduz os vértices de D. Ele supõe que basta listar as transformações corretas, sem testar a ordem de aplicação.
Raio-X da questão
transformações geométricas no plano
avaliacao
sistema de coordenadas cartesianas · transformações geométricas básicas
estude translação, rotação e reflexão no plano cartesiano
Confundir a ordem das transformações ou o sentido da rotação, levando a sequência incorreta.
tomada_decisao
abstrato
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