Ao planejar o mobiliário de uma praça urbana, um designer instalou um banco em forma de triângulo equilátero…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Ao planejar o mobiliário de uma praça urbana, um designer instalou um banco em forma de triângulo equilátero de lado 2 m. Em seguida, ele refletiu esse banco em relação ao eixo norte-sul da praça e rotacionou a imagem resultante em 120 graus em torno do centro da área. Por fim, criou um terceiro banco, semelhante aos anteriores, por meio de homotetia com centro no mesmo ponto central da praça, de modo que seu lado passou a medir 4 m. Considere as informações do texto-base e determine quantas vezes a área do terceiro banco é maior que a área do banco original.
- A) 2 vezes
- B) 4 vezes
- C) 16 vezes
- D) 1/2
- E) 8 vezes
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- O banco original é um triângulo equilátero de lado 2 m. A reflexão em relação ao eixo norte-sul e a rotação de 120 graus em torno do centro são isometrias, ou seja, movimentos rígidos que preservam forma e tamanho. Logo, o banco refletido e rotacionado continua tendo lado 2 m e área igual à do original. Passo 2: O terceiro banco é obtido por homotetia com centro no ponto central da praça, e seu lado passa de 2 m para 4 m. A razão de semelhança (ou constante de homotetia) é k = 4/2 = 2. Passo 3: Em figuras semelhantes, a razão entre áreas é o quadrado da razão entre lados, isto é, k^2 = 2^2 = 4. Passo 4: Portanto, a área do terceiro banco é 4 vezes a área do banco original, o que confirma a alternativa B, igual ao gabarito oficial. Passo 5: Por que as demais estão erradas: A) usa a razão linear 2 como se fosse a razão de áreas, esquecendo de elevar ao quadrado; C) eleva ao quadrado o lado final 4 m em vez da razão 2, obtendo 16; D) inverte a razão, como se a área diminuísse, o que não ocorre numa ampliação; E) eleva a razão ao cubo, como se fosse volume, em vez de área.
💡 Dica: Calcule a área do triângulo original e do ampliado usando a relação da homotetia.
Alternativa por alternativa
O aluno toma a razão de semelhança linear (2) como se fosse a razão entre as áreas, sem elevá-la ao quadrado.
Por que engana: confundir a relação entre lados e áreas na homotetia, calculando a área proporcional ao lado e não ao quadrado do lado.
A homotetia dobra os lados (2), e a razão das áreas é 2^2 = 4.
O aluno eleva ao quadrado o lado final de 4 m, em vez de elevar ao quadrado a razão de semelhança 2, obtendo 16.
O aluno inverte a razão, dividindo a área original pela nova, como se o terceiro banco fosse menor, quando a homotetia amplia a figura.
O aluno confunde área com volume e eleva a razão de semelhança ao cubo (2^3 = 8), o que vale para sólidos, não para figuras planas.
Raio-X da questão
homotetia e área triângulo
avaliacao
área triângulo equilátero · proporcionalidade e semelhança
estude homotetia e cálculo de área de triângulo equilátero
confundir a relação entre lados e áreas na homotetia, calculando a área proporcional ao lado e não ao quadrado do lado.
tomada_decisao
cotidiano
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