Em um ateliê de design gráfico, o artista criou inicialmente um triângulo equilátero de lado 5 cm. Em seguida…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um ateliê de design gráfico, o artista criou inicialmente um triângulo equilátero de lado 5 cm. Em seguida, aplicou uma rotação de 180 graus em torno do seu ponto médio, formando um segundo triângulo congruente e obtendo um losango. Por fim, realizou uma homotetia centrada no centro do losango com razão de 3, resultando em um losango maior. A partir do texto-base, determine a razão entre a área do losango obtido após a homotetia e a área do losango inicial.
- A) 9
- B) 6
- C) 18
- D) 12
- E) 3
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o que a questão pede. Queremos a razão entre a área do losango final (após a homotetia) e a área do losango inicial. Como a homotetia tem razão 3, as dimensões lineares ficam multiplicadas por 3.
- Calcule a área do triângulo equilátero de lado 5 cm. A área é (raiz de 3 / 4) x 5^2 = 25 x raiz de 3 / 4 cm^2.
- Determine a área do losango inicial. A rotação de 180 graus em torno do ponto médio de um lado forma um segundo triângulo congruente ao primeiro, do lado oposto, e a união dos dois é um losango com lados iguais a 5 cm. Logo, a área do losango inicial é 2 x (25 x raiz de 3 / 4) = 25 x raiz de 3 / 2 cm^2.
- Aplique a homotetia. Em uma homotetia de razão k, as áreas são multiplicadas por k^2. Com k = 3, a área do novo losango é 9 vezes a área inicial.
- Conclua. A razão pedida é 9, que corresponde à alternativa A, em concordância com o gabarito oficial. Observação: a razão não depende do valor do lado nem do número de triângulos, pois o fator 2 aparece no numerador e no denominador e se cancela.
- Por que as outras estão erradas: B (6) seria a razão linear multiplicada por 2, o que não corresponde a nenhuma relação de áreas. C (18) dobra o resultado correto, contando duas vezes o fator dos triângulos. D (12) não corresponde a nenhuma relação de áreas do problema. E (3) usa a razão linear como se fosse a razão das áreas, o que é incorreto.
💡 Dica: Calcule a área do losango inicial e use a razão da homotetia para encontrar a área do losango maior.
Alternativa por alternativa
Homotetia de razão 3 aumenta áreas por 3^2 = 9, logo a razão entre áreas é 9.
O aluno multiplica a razão da homotetia (3) pelo fator 2 dos dois triângulos, achando que o dobro da área do triângulo entra na razão final.
Por que engana: Confundir a razão da homotetia com a razão das áreas, aplicando a razão linear diretamente na área.
O aluno calcula 2 x 3^2 e conta duas vezes o fator 2 dos triângulos, esquecendo que ele aparece igualmente na área inicial e na final e por isso se cancela.
O aluno mistura a razão linear e a de área de forma aleatória, por exemplo somando ou combinando 3 com outros números, sem uma relação geométrica válida.
O aluno usa a razão linear 3 diretamente como razão entre as áreas, sem perceber que, em uma homotetia, a área cresce com o quadrado da razão.
Raio-X da questão
homotetia e áreas
avaliacao
propriedades de triângulos · razão e proporção
estude homotetia e cálculo de áreas de figuras planas
Confundir a razão da homotetia com a razão das áreas, aplicando a razão linear diretamente na área.
tomada_decisao
cotidiano
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