Folhas verdes ainda brilham sob a luz da tarde em um pequeno bosque urbano onde três árvores de Acer formam um…

Questão

Folhas verdes ainda brilham sob a luz da tarde em um pequeno bosque urbano onde três árvores de Acer formam um triângulo equilátero com cada lado medindo 12 metros. Um paisagista sugere instalar um banco circular que passe exatamente pelas bases dessas três árvores, de modo que o assento seja equidistante de cada tronco. Para definir o formato do banco, ele conta com ramos e fitas como compasso improvisado, medindo sempre a mesma distância do centro até cada árvore. A partir das informações do texto-base, calcule o raio, em metros, do banco circular que passa pelos três troncos.

1. A) 4*sqrt(3) m
2. B) 6 m
3. C) 3*sqrt(3) m
4. D) 6*sqrt(3) m
5. E) 4*sqrt(2) m

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Os três troncos formam um triângulo equilátero de lado 12 m, e o banco circular passa pelos três pontos. Logo, o raio é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, a distância do centro (que coincide com o baricentro do triângulo) até cada vértice.
2. Em um triângulo equilátero de lado a, a relação entre o lado e o raio circunscrito é R = a / sqrt(3), ou seja, R = a·sqrt(3)/3. Essa relação vem da altura h = a·sqrt(3)/2 e do fato de que o baricentro divide a altura na razão 2:1, de modo que R = (2/3)·h.
3. Substituindo a = 12: R = 12 / sqrt(3) = 12·sqrt(3) / 3 = 4·sqrt(3) metros.
4. Conferindo pela altura: h = 12·sqrt(3)/2 = 6·sqrt(3), e R = (2/3)·6·sqrt(3) = 4·sqrt(3). O resultado é consistente.
5. Comparação com o gabarito oficial: a resposta encontrada, 4·sqrt(3) m, coincide com a alternativa A, portanto o gabarito está correto.
6. Por que as outras estão erradas: B (6 m) corresponde à metade do lado, que é a distância do ponto médio de um lado ao centro do triângulo apenas em sentido errado, não ao vértice; C (3·sqrt(3) m) resulta de um erro na racionalização, pois 12·sqrt(3)/4 não é o cálculo correto; D (6·sqrt(3) m) é a altura do triângulo, não o raio; E (4·sqrt(2) m) usa uma relação de quadrado ou de triângulo retângulo que não se aplica a um triângulo equilátero.

💡 Dica: Use propriedades do triângulo equilátero para encontrar o raio do círculo circunscrito.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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