Manchete fictícia: “Instalação de arte geométrica surpreende visitantes em galeria virtual”. Para criar a…

Questão

Manchete fictícia: “Instalação de arte geométrica surpreende visitantes em galeria virtual”. Para criar a obra, um artista digital partiu de um triângulo equilátero. Inicialmente, aplicou uma rotação de 60 graus no sentido anti-horário em torno do vértice A. Depois, deslocou a figura pelo vetor de componentes (4,1). Por fim, aplicou uma homotetia de razão 2, também com centro em A. Considere que a área inicial do triângulo era S. Com base no procedimento descrito, qual transformação modificou a área do triângulo e qual foi a relação entre a área final e a área inicial?

1. A) Rotação de 60 graus seguida de translação, com área final igual a três vezes a inicial
2. B) Composição da rotação e da translação, com área final igual à área inicial
3. C) Rotação de 60 graus em torno de A, com área final igual ao dobro da inicial
4. D) Translação pelo vetor (4,1), com área final igual à metade da inicial
5. E) Homotetia de razão 2 em torno de A, com área final igual a quatro vezes a inicial

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Rotação e translação são isometrias, ou seja, preservam distâncias, ângulos e a área da figura. Assim, a rotação de 60 graus em torno de A e o deslocamento pelo vetor (4,1) não alteram a área, que continua S.
2. A homotetia de razão 2 é a única transformação que altera a medida das dimensões. Cada lado do triângulo fica multiplicado por 2, e a área, que depende de duas dimensões (base e altura), fica multiplicada por 2 elevado a 2, isto é, por 4.
3. Portanto, a área final é 4S, ou seja, quatro vezes a área inicial. A alternativa E identifica corretamente a transformação (homotetia de razão 2 em torno de A) e a relação (quatro vezes a inicial).
4. Por que as outras estão erradas: A afirma que a composição de rotação e translação triplica a área, o que é falso porque ambas são isometrias. B descreve corretamente que essa composição preserva a área, mas não responde à pergunta, pois não identifica a transformação que alterou a área nem a relação final com a inicial. C atribui à rotação o dobro da área, o que é falso, pois a rotação não muda o tamanho da figura. D atribui à translação a metade da área, também falso, pois deslocar a figura não altera sua área.
5. Conferência com o gabarito oficial: a resposta E está de acordo com a resolução obtida por cálculo próprio.

💡 Dica: Analise o efeito de cada transformação na área do triângulo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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