Uma organização brasileira de educação ambiental publicou um vídeo sobre a preservação de nascentes. O número…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma organização brasileira de educação ambiental publicou um vídeo sobre a preservação de nascentes. O número de novos inscritos no canal foi registrado nos três primeiros dias após a publicação: 120 no primeiro dia, 180 no segundo e 270 no terceiro. A equipe observou que, a partir do primeiro dia, o número de novos inscritos de cada dia era obtido multiplicando o número do dia anterior por 3/2. Considere n o número inteiro positivo que representa o dia após a publicação. Com base nos dados do texto, qual expressão representa o número de novos inscritos no n-ésimo dia?
- A) a_n = 120 · (3/2)^(n−1)
- B) a_n = 120 + 60 · (n−1)
- C) a_n = 120 · (3/2)^n
- D) a_n = 120 · (2/3)^(n−1)
- E) a_n = 180 · (3/2)^(n−1)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o padrão descrito no enunciado. A partir do primeiro dia, cada dia tem o número de novos inscritos do dia anterior multiplicado por 3/2, ou seja, trata-se de uma progressão geométrica de razão q = 3/2.
- Verifique com os dados. O primeiro termo é a_1 = 120. Então a_2 = 120 · 3/2 = 180, que coincide com o segundo dia do texto. Em seguida a_3 = 180 · 3/2 = 270, que também coincide com o terceiro dia.
- Generalize. Em uma progressão geométrica, a_n = a_1 · q^(n−1). Substituindo a_1 = 120 e q = 3/2, obtemos a_n = 120 · (3/2)^(n−1), que é a alternativa A.
- Analise as demais alternativas. B está errada porque descreve uma progressão aritmética de razão 60, que daria 180 e 240 no segundo e terceiro dias, não 270. C está errada porque, para n = 1, daria 180 e não 120, ou seja, desloca o padrão uma posição. D está errada porque usa a razão 2/3, que faz o número de inscritos diminuir a cada dia, contrariando o texto. E está errada porque usa 180 como primeiro termo, o que não corresponde ao primeiro dia de 120 inscritos.
- Conclusão: a expressão correta é a_n = 120 · (3/2)^(n−1), alternativa A, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Identifique a razão da progressão geométrica e aplique a fórmula do termo geral.
Alternativa por alternativa
Os números de inscritos formam uma progressão geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por 3/2: 180/120 = 270/180 = 3/2. Como o primeiro termo é 120 e corresponde a n = 1, a expressão do termo geral é a_n = a_1 · q^(n−1) = 120 · (3/2)^(n−1).
O aluno identificou que os valores crescem, mas assumiu que o acréscimo é constante, como em uma progressão aritmética. Não percebeu que o texto fala em multiplicação pelo mesmo fator a cada dia.
Por que engana: Confundir progressão aritmética com geométrica e aplicar fórmula errada para o termo geral.
O aluno acertou a razão 3/2, mas usou o expoente n em vez de n−1, deslocando a sequência. Assim, para o primeiro dia obteria 180, quando o enunciado informa 120.
O aluno inverteu a razão, usando 2/3 em vez de 3/2. Com essa razão os valores diminuiriam a cada dia, o que contradiz os dados 120, 180 e 270, que aumentam.
O aluno tomou o segundo dia (180 inscritos) como primeiro termo da fórmula. Com isso, a expressão começa no valor errado para o primeiro dia, que é 120.
Raio-X da questão
progressão geométrica, termo geral
avaliacao
progressão geométrica · potenciação
Estude progressão geométrica e cálculo do termo geral.
Confundir progressão aritmética com geométrica e aplicar fórmula errada para o termo geral.
tomada_decisao
cotidiano
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