— Precisamos definir o preço do ingresso, disse Clara. — Atualmente vendemos 300 ingressos por festa, mas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Precisamos definir o preço do ingresso, disse Clara. — Atualmente vendemos 300 ingressos por festa, mas notamos que, para cada aumento de R$ 1 no preço, vendemos 2 ingressos a menos, completou Bruno. Eles ainda pagam custos fixos de R$ 4.000 por evento. Supondo que x represente o preço do ingresso em reais, o lucro obtido em cada festa pode ser modelado pela função P(x) = x\,(300-2x)-4000. Com base no texto, identifique o preço do ingresso que maximiza o lucro obtido pelos irmãos.
- A) R$ 14,80
- B) R$ 75
- C) R$ 135,20
- D) R$ 150
- E) R$ 37,50
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a função do lucro. P(x) = x(300 - 2x) - 4000. Desenvolvendo, P(x) = 300x - 2x^2 - 4000, que é uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de x^2 é -2. Por isso ela tem um ponto de máximo, que é o vértice.
- Calcule a abscissa do vértice pela fórmula x_v = -b/(2a), com a = -2 e b = 300. Temos x_v = -300/(2 · (-2)) = -300/(-4) = 75. Logo, o preço que maximiza o lucro é R$ 75.
- Confira o resultado. Para x = 75, a quantidade vendida é 300 - 2 · 75 = 150 ingressos, e o lucro é P(75) = 75 · 150 - 4000 = 11250 - 4000 = R$ 7.250. Para x = 74 ou x = 76, o lucro é menor, como esperado de um máximo.
- Analise as alternativas erradas. A) R$ 14,80 é uma raiz de P(x) = 0, ou seja, um preço em que o lucro é zero, e não o máximo. C) R$ 135,20 é a outra raiz de P(x) = 0, também com lucro zero. D) R$ 150 é o preço em que nenhum ingresso é vendido (300 - 2x = 0), gerando prejuízo de R$ 4.000. E) R$ 37,50 não é o vértice da parábola, pois corresponde a metade do valor correto.
- Conclusão. O gabarito B está correto. O preço do ingresso que maximiza o lucro dos irmãos é R$ 75, com lucro máximo de R$ 7.250 por festa.
💡 Dica: Use a função lucro para encontrar o valor de x que maximiza P(x) usando derivada ou vértice da parábola.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente calculou as raízes de P(x) = 0 em vez do vértice, encontrando o preço em que o lucro é zero. Esse ponto é o menor preço de equilíbrio, não o que maximiza o lucro.
O vértice da parábola P(x)=-2x^2+300x-4000 ocorre em x=-b/(2a)=300/(4)=75 reais, ponto de máximo.
O aluno provavelmente igualou P(x) a zero e escolheu a maior raiz, achando que ela corresponde ao lucro máximo. Essa raiz é um ponto de lucro nulo, e não um máximo.
O aluno provavelmente usou a raiz de 300 - 2x = 0, que é x = 150, ou seja, o preço em que ninguém compra o ingresso. Esquece que a fórmula do vértice é -b/(2a), e não -b/a.
O aluno provavelmente aplicou a fórmula do vértice corretamente, mas depois dividiu o resultado por 2 sem motivo, ou usou -b/(4a) por engano. Assim obteve 37,50, que é metade do valor correto.
Por que engana: Escolher preço sem considerar a maximização do lucro ou confundir o cálculo do vértice da função quadrática.
Raio-X da questão
função quadrática lucro
avaliacao
função quadrática básica · cálculo do vértice da parábola
estude função quadrática e cálculo do vértice para maximização
Escolher preço sem considerar a maximização do lucro ou confundir o cálculo do vértice da função quadrática.
tomada_decisao
cotidiano
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