Por que aumentar o preço do ingresso nem sempre eleva o lucro? Uma pesquisa indicou que, quando o ingresso…

Questão

Por que aumentar o preço do ingresso nem sempre eleva o lucro? Uma pesquisa indicou que, quando o ingresso custa R$20, uma sessão atrai 500 espectadores. Cada redução de R$1 no preço resulta em 30 espectadores a mais. Os custos fixos de uma sessão são R$4 000. Assim, o lucro em função do preço p (em reais) é dado por L(p)=p·(1100–30p)–4000. Analise o texto e determine o valor do preço do ingresso que maximiza o lucro do cinema.

1. A) Cobrar R$18,33
2. B) Cobrar R$17,50
3. C) Cobrar R$18,00
4. D) Cobrar R$20,00
5. E) Cobrar R$15,00

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Escrevo a função do lucro: L(p) = p·(1100 – 30p) – 4000 = –30p^2 + 1100p – 4000. Ela é uma parábola com coeficiente de p^2 negativo (–30), então tem um ponto de máximo no vértice.
2. Calculo a abscissa do vértice: p = –b/(2a) = –1100/(2·(–30)) = 1100/60 = 18,333... reais, ou seja, aproximadamente R$18,33.
3. Conferindo com valores vizinhos: L(17,50) = 6062,50; L(18,00) = 6080; L(18,33) ≈ 6084,80; L(20,00) = 6000. O maior lucro aparece perto de R$18,33, por isso resolvi a questão por conta própria e cheguei à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
4. Por que as outras estão erradas: B (R$17,50) fica abaixo do vértice, onde o lucro ainda não atingiu o máximo; C (R$18,00) é próximo, mas o máximo exato está em 18,33..., então um preço inteiro não maximiza o lucro; D (R$20,00) é o preço original e dá lucro menor, pois o aumento reduz muito o público; E (R$15,00) dá público grande, mas o lucro cai porque o preço baixo reduz a receita.
5. Conclusão: aumentar o preço só eleva o lucro até um certo ponto. Depois disso, a perda de espectadores supera o ganho por ingresso, o que responde à pergunta do texto.

💡 Dica: Use a função lucro para encontrar o preço que maximiza o lucro derivando e igualando a zero.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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