Depois de uma queda no movimento das tardes de domingo, a administração de um centro de escalada decidiu…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Depois de uma queda no movimento das tardes de domingo, a administração de um centro de escalada decidiu testar um novo valor de entrada para um evento mensal. A equipe observou que, para cada aumento de 1 real no ingresso em relação ao preço de 10 reais, cerca de 4 pessoas a menos compareciam; por outro lado, a redução de 1 real atraía cerca de 4 pessoas a mais. Com base nos registros, o número de participantes pode ser modelado por N(x) = 200 - 4x, em que x representa a variação, em reais, em relação ao preço de 10 reais. Assim, a arrecadação do evento fica dada por R(x) = (10 + x)(200 - 4x), válida para x entre -10 e 40. Considere o texto-base e identifique o valor do ingresso que maximiza a arrecadação do evento.
- A) 50 reais
- B) 40 reais
- C) 30 reais
- D) 60 reais
- E) 10 reais
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Desenvolva a função da arrecadação: R(x) = (10 + x)(200 - 4x) = 2000 - 40x + 200x - 4x^2, ou seja, R(x) = -4x^2 + 160x + 2000. Como o coeficiente de x^2 é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo. Passo 2: Calcule o x do vértice: xv = -b/(2a) = -160/(2 * (-4)) = 20. Esse valor está dentro do intervalo válido, de -10 a 40. Passo 3: Converta a variação em preço do ingresso: preço = 10 + x = 10 + 20 = 30 reais. Passo 4: Verifique: R(20) = (10 + 20)(200 - 80) = 30 * 120 = 3600 reais; já R(0) = 2000 e R(40) = 2000, valores menores, confirmando que o máximo está em x = 20. Passo 5: Conclusão: o valor que maximiza a arrecadação é 30 reais, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (50 reais) corresponde a x = 40, extremo do intervalo, onde a arrecadação cai para 2000; B (40 reais) corresponde a x = 30, onde R = 3200, menor que o máximo; D (60 reais) corresponde a x = 50, fora do intervalo válido da função; E (10 reais) corresponde a x = 0, onde R = 2000, sem ser o máximo.
💡 Dica: Use a função dada para encontrar o valor de x que maximiza R(x).
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter tomado o extremo superior do intervalo (x = 40) como ponto de máximo, sem derivar ou calcular o vértice, ou imaginou que aumentar o preço sempre aumenta a receita.
O aluno pode ter cometido um erro de cálculo no vértice, obtendo x = 30 em vez de 20, por exemplo dividindo 160 por 4 ou usando sinal errado.
Por que engana: Confundir o valor de x que maximiza a função com o valor da função em si, ou não aplicar corretamente a fórmula do vértice.
Como R(x) = -4x^2 + 160x + 2000, o vértice ocorre em x = 20; logo, o preço é 10 + 20 = 30 reais.
O aluno pode ter esquecido o intervalo válido de x (-10 a 40) e aceitado o vértice ou um valor fora dele, como x = 50, sem verificar o domínio da função.
O aluno pode ter confundido o preço base de 10 reais com o valor que maximiza a arrecadação, ou seja, interpretou x = 0 como resposta, sem analisar a variação da função.
Raio-X da questão
função quadrática, maximização, receita
avaliacao
função do 1º e 2º grau · análise de gráficos e tabelas
Estude funções quadráticas e como encontrar máximos usando derivadas ou vértice.
Confundir o valor de x que maximiza a função com o valor da função em si, ou não aplicar corretamente a fórmula do vértice.
tomada_decisao
cotidiano
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