Por que certas estruturas quadradas ganham espaço cada vez mais rápido no interior do que ao redor? Um…

Questão

Por que certas estruturas quadradas ganham espaço cada vez mais rápido no interior do que ao redor? Um paisagista projeta praças quadradas de lado l metros. O perímetro P(l) e a área A(l) obedecem às funções P(l)=4·l e A(l)=l^2. Para l=1,2,3,4,5, tem-se: l: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 P(l): 4 | 8 | 12 | 16 | 20 A(l): 1 | 4 | 9 | 16 | 25 Esses valores ilustram como as duas grandezas variam em função de l. Interprete, a partir do texto-base, em que valor de l as representações gráficas de P(l) e A(l) se interceptam e como se comporta cada função quanto à taxa de crescimento.

1. A) A intersecao ocorre em l=2 e para l>2 o perimetro cresce mais rapido que a area
2. B) A intersecao ocorre em l=5 e para l<5 a area cresce mais rapido que o perimetro
3. C) A intersecao ocorre em l=0 e para l>0 o perimetro cresce sempre mais rapido que a area
4. D) A intersecao ocorre em l=4 e para l>4 o perimetro cresce mais rapido que a area
5. E) A intersecao ocorre em l=4 e para l>4 a area cresce mais rapido que o perimetro

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Para achar a interseção, igualamos as funções: 4·l = l^2. Passando tudo para um lado, l^2 - 4·l = 0, ou seja, l·(l - 4) = 0. Logo l = 0 ou l = 4.
2. Como l é o lado de uma praça, l é positivo, e o ponto relevante é l = 4, onde P(4) = A(4) = 16. A origem (l = 0) também é uma interseção matemática, mas não tem sentido prático para uma praça.
3. Comparar as taxas de crescimento. P(l) = 4·l cresce a uma taxa constante: sobe 4 unidades a cada metro de aumento do lado. A(l) = l^2 tem taxa que aumenta com l, pois a taxa instantânea é 2·l. Em l = 4, a taxa da área é 8 e a do perímetro é 4. Para l > 4, 2·l > 4, então a área cresce mais rápido que o perímetro.
4. Verificação numérica com a tabela: para l = 5, P = 20 e A = 25, ou seja, a área já ultrapassou o perímetro. Para l = 2, P = 8 e A = 4, então o perímetro está acima da área antes da interseção.
5. Por isso a alternativa E é a correta. A está errada porque a interseção não ocorre em l = 2 (P(2) = 8 e A(2) = 4 são diferentes). B está errada porque em l = 5 os valores não se igualam (20 e 25), e para l < 4 é o perímetro que fica maior. C está errada porque, embora l = 0 seja uma interseção, para l > 4 a área é que cresce mais rápido, não o perímetro. D está errada porque o ponto l = 4 está certo, mas para l > 4 é a área que cresce mais rápido.

💡 Dica: Compare os valores de P(l) e A(l) e analise suas taxas de crescimento.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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