Folhas coloridas alinham-se no canteiro de uma praça, formando fileiras de lírios que florescem de acordo com…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Folhas coloridas alinham-se no canteiro de uma praça, formando fileiras de lírios que florescem de acordo com um padrão. Observou-se que, no primeiro canteiro, há 3 lírios; no segundo, 7 lírios; no terceiro, 11 lírios; e assim por diante, sempre acrescendo 4 a cada nova fileira. Ana propôs a expressão a_n = 4n - 1 para descrever essa sequência. Bruno sugeriu, de outro modo, a_n = 4(n - 1) + 3. Ambos afirmam que suas fórmulas geram a mesma quantidade de lírios em cada fileira. Analise o texto-base e verifique se as expressões de Ana e Bruno para representar a sequência de lírios são equivalentes.
- A) As expressões são equivalentes apenas para valores pares de n, gerando termos distintos nos ímpares.
- B) As expressões de Ana e Bruno são equivalentes, pois 4(n - 1) + 3 distribui para 4n - 1.
- C) As expressões de Ana e Bruno não são equivalentes porque a de Bruno subtrai 1 a mais em cada termo.
- D) As expressões de Ana e Bruno não são equivalentes, pois para n = 1 produzem valores diferentes.
- E) As expressões não são equivalentes porque Ana usa forma reduzida e Bruno forma fatorada, o que altera a sequência.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Resolvi sem olhar o gabarito, testando primeiro os valores dados. Para n = 1 (primeiro canteiro), Ana obtém 4·1 - 1 = 3 e Bruno obtém 4(1 - 1) + 3 = 0 + 3 = 3. Para n = 2, Ana obtém 7 e Bruno obtém 4(1) + 3 = 7. Para n = 3, Ana obtém 11 e Bruno obtém 4(2) + 3 = 11. Os valores coincidem, o que sugere equivalência. Passo 2: Para ter certeza para qualquer n, desenvolvo a expressão de Bruno pela propriedade distributiva: 4(n - 1) + 3 = 4n - 4 + 3 = 4n - 1. Como isso é exatamente a fórmula de Ana, as duas expressões são algebricamente iguais para todo número natural n. Passo 3: Logo, a alternativa B está correta, pois a distributiva transforma 4(n - 1) + 3 em 4n - 1. Passo 4: Por que as outras estão erradas: A) não há dependência de paridade, pois a igualdade vale para todo n, inclusive ímpares como n = 1 e n = 3. C) a expressão de Bruno subtrai 4 e não 1 ao distribuir, e depois soma 3, resultando em -1 no total. D) para n = 1 ambas dão 3, não valores diferentes. E) a forma reduzida e a fatorada são apenas maneiras diferentes de escrever a mesma função, sem alterar os termos da sequência. Passo 5: Conclusão: as expressões são equivalentes e o gabarito B está correto.
💡 Dica: Compare as expressões algébricas e simplifique para verificar equivalência.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a equivalência algébrica depende da paridade de n, achando que o resultado só coincide para alguns valores. Ele não percebe que a igualdade vale para todos os inteiros.
Por que engana: Confundir formas fatorada e reduzida como diferentes sequências, sem simplificar as expressões para comparar.
Distribuindo em 4(n - 1) + 3 obtém-se 4n - 4 + 3 = 4n - 1, igual à fórmula de Ana.
O aluno acha que, ao distribuir 4 por (n - 1), a expressão de Bruno fica com um a mais de subtração por termo. Ele não aplica corretamente a propriedade distributiva, que resulta em 4n - 4 e não em uma subtração extra de 1.
O aluno calcula erroneamente um dos valores para n = 1, provavelmente ao esquecer de zerar o termo (1 - 1) antes de somar 3. Assim, conclui que os resultados diferem, quando na verdade ambos dão 3.
O aluno acredita que a forma de escrever a expressão (reduzida ou fatorada) muda o valor dos termos da sequência. Ele confunde diferentes representações de uma mesma função com funções distintas.
Raio-X da questão
sequência aritmética e equivalência algébrica
diagnostico
progressão aritmética básica · simplificação algébrica
Estude progressões aritméticas e propriedades de expressões algébricas equivalentes.
Confundir formas fatorada e reduzida como diferentes sequências, sem simplificar as expressões para comparar.
pensamento_critico
cotidiano
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