— Por que o número de folhas dos meus girassóis aumenta tão rápido? — perguntou Luiza ao observar o canteiro…

Questão

— Por que o número de folhas dos meus girassóis aumenta tão rápido? — perguntou Luiza ao observar o canteiro. A cada mês, o número de folhas de cada planta sofre a mesma transformação: dobra e recebe mais uma folha. Em um exemplar específico, havia 2 folhas no primeiro mês, 5 no segundo e 11 no terceiro. Esses valores formam uma sequência numérica que segue uma regra de formação. Analise o texto-base e utilize simbologia algébrica para expressar o termo geral a_n dessa sequência que descreve o número de folhas em função do mês n.

1. A) a_n = 2^(n+1) - 1
2. B) a_n = 3·2^(n-1) - 1
3. C) a_n = 3n - 1
4. D) a_n = 2·a_{n-1}
5. E) a_n = 2^n + 1

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique a regra de formação. De 2 para 5 o número de folhas passa de 2 para 5: dobra (2 x 2 = 4) e ganha mais uma folha (4 + 1 = 5). De 5 para 11: dobra (10) e ganha mais uma (11). Logo, a regra é a_(n+1) = 2·a_n + 1. Passo 2: Procure um termo geral fechado. Como a sequência cresce por multiplicação por 2 somada a 1, a parte exponencial deve ser 2^(n-1), e a constante deve ajustar os valores. Testando a_n = 3·2^(n-1) - 1: para n = 1, 3·1 - 1 = 2; para n = 2, 3·2 - 1 = 5; para n = 3, 3·4 - 1 = 11. Todos batem com o enunciado. Passo 3: Verifique a recorrência com a fórmula: a_(n+1) = 3·2^n - 1 e 2·a_n + 1 = 2·(3·2^(n-1) - 1) + 1 = 3·2^n - 2 + 1 = 3·2^n - 1, o que confirma a igualdade. Passo 4: Conclusão. A alternativa B é a correta, e o gabarito oficial está certo. A alternativa A está errada porque, para n = 1, daria 2^2 - 1 = 3, e não 2. A alternativa C está errada porque, para n = 3, daria 8, e não 11. A alternativa D está errada porque não é uma fórmula do termo geral em função de n, não gera 5 a partir de 2 e ainda depende de um termo anterior sem o +1. A alternativa E está errada porque, para n = 1, daria 2 + 1 = 3, e não 2.

💡 Dica: Use a relação de recorrência para montar a expressão algébrica do termo geral.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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