Por que alguns mosaicos antigos usam ladrilhos de tamanhos variados? Um método popular consiste em cobrir…

Questão

Por que alguns mosaicos antigos usam ladrilhos de tamanhos variados? Um método popular consiste em cobrir retângulos de 2 unidades de altura por n unidades de largura usando ladrilhos de 2×1 (domino) e de 1×1 (quadrado). Para n de 1 a 5, a quantidade f(n) de maneiras de montar o retângulo é: f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5, f(5)=8. Esses valores formam uma sequência em que cada termo, a partir do terceiro, pode ser obtido a partir dos anteriores. Analise o texto-base e conjecture a relação que permite obter f(n) a partir dos termos anteriores.

1. A) f(n)=f(n-1)×f(n-2)
2. B) f(n)=f(n-1)+f(n-2)
3. C) f(n)=f(n-2)+n
4. D) f(n)=2·f(n-1)
5. E) f(n)=f(n-1)+n

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Os valores dados são f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5 e f(5)=8. Procuramos uma regra que, a partir do terceiro termo, gere cada valor usando os anteriores. Passo 2: Testamos a soma dos dois termos anteriores, f(n)=f(n-1)+f(n-2). Para n=3: f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3, que confere. Passo 3: Para n=4: f(4)=f(3)+f(2)=3+2=5, que confere. Para n=5: f(5)=f(4)+f(3)=5+3=8, que também confere. Essa é a sequência de Fibonacci, e a relação vale para todos os termos dados. Passo 4: Verificamos por que as outras alternativas estão erradas. A) f(n)=f(n-1)×f(n-2) dá f(3)=2×1=2, e não 3. C) f(n)=f(n-2)+n dá f(3)=f(1)+3=4, e não 3. D) f(n)=2·f(n-1) dá f(3)=2·2=4, e não 3. E) f(n)=f(n-1)+n dá f(3)=f(2)+3=5, e não 3. Passo 5: Conclusão: a relação correta é f(n)=f(n-1)+f(n-2), alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Observe a sequência e relacione cada termo com os dois anteriores.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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