Por que o mosaico da praça central cresce em padrões concêntricos? Ao observar o piso, notou-se que ele se…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que o mosaico da praça central cresce em padrões concêntricos? Ao observar o piso, notou-se que ele se forma em etapas: começa-se com um quadrado de 1×1 ladrilho branco. Em seguida, adiciona-se uma moldura de ladrilhos pretos ao redor, completando um quadrado de 3×3. Depois, acrescenta-se uma moldura branca ao redor, chegando a um quadrado de 5×5, e assim por diante, alternando cores e aumentando o tamanho em 2 unidades por etapa. Em cada etapa n (n>=1), forma-se um quadrado de lado (2n-1) antes da adição e de lado (2n+1) após a adição. Os ladrilhos adicionados em etapa n formam a moldura desse novo quadrado. Considere o processo descrito no texto-base e determine uma expressão em função de n para o número de novos ladrilhos adicionados na etapa n.
- A) Calcular 2n+1
- B) Calcular 8n-2
- C) Calcular (2n+1)^2
- D) Calcular 4n
- E) Calcular 8n
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o total de ladrilhos antes e depois de cada etapa. Antes da etapa n, o quadrado tem lado (2n-1), logo área (2n-1)^2. Depois da etapa n, o quadrado tem lado (2n+1), logo área (2n+1)^2. Passo 2: O número de novos ladrilhos é a diferença entre as duas áreas, pois a moldura é exatamente o que foi acrescentado: (2n+1)^2 - (2n-1)^2. Passo 3: Desenvolva os quadrados. (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 e (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1. Passo 4: Subtraia: (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 8n. Passo 5: Confira com exemplos. Na etapa 1, o quadrado passa de 1×1 (1 ladrilho) para 3×3 (9 ladrilhos), com 8 novos ladrilhos, e 8×1 = 8. Na etapa 2, passa de 3×3 (9) para 5×5 (25), com 16 novos ladrilhos, e 8×2 = 16. Passo 6: Conclusão: a expressão pedida é 8n, alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. Por que as demais estão erradas: A) 2n+1 é o lado do quadrado após a etapa, não a quantidade de ladrilhos novos; B) 8n-2 dá 6 na etapa 1, mas são 8 ladrilhos novos; C) (2n+1)^2 é o total de ladrilhos do quadrado após a etapa, não só os novos; D) 4n dá 4 na etapa 1, mas a moldura tem 8 ladrilhos.
💡 Dica: Calcule a diferença entre os quadrados de lado (2n+1) e (2n-1) para encontrar os ladrilhos adicionados.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde a dimensão do lado do novo quadrado com a quantidade de ladrilhos acrescentados, tratando o lado (2n+1) como se fosse o número de peças da moldura.
O aluno tenta calcular a diferença entre as áreas, mas erra na expansão algébrica ou na subtração dos termos, chegando a 8n-2 e perdendo 2 unidades. Por exemplo, na etapa 1 ele obtém 6 em vez de 8.
Por que engana: Confundir o lado do quadrado com o numero de ladrilhos adicionados ou nao considerar a diferenca entre os quadrados consecutivos.
O aluno calcula a área total do novo quadrado, (2n+1)^2, e não a quantidade de ladrilhos adicionados, desconsiderando o que já existia antes da etapa. O enunciado pede apenas os novos ladrilhos.
O aluno supõe que a moldura cresce de forma linear com apenas 4 ladrilhos por etapa, pensando em um ladrilho por lado a cada aumento, e não considera que cada lado aumenta em 2 unidades.
A moldura adicionada tem (2n+1)^2-(2n-1)^2=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1)=8n ladrilhos.
Raio-X da questão
progressao aritmetica e geometria
avaliacao
progressao aritmetica · area de quadrado
estude progressao aritmetica e calculo de areas de quadrados
Confundir o lado do quadrado com o numero de ladrilhos adicionados ou nao considerar a diferenca entre os quadrados consecutivos.
pensamento_critico
abstrato
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