Dados ilustrativos: artesãos de uma cooperativa de mosaico criaram uma sequência de padrões quadrados usando…

Questão

Dados ilustrativos: artesãos de uma cooperativa de mosaico criaram uma sequência de padrões quadrados usando ladrilhos unitários. No padrão de índice n, iniciam-se com um único ladrilho no centro (n=1) e, em cada novo padrão, adiciona-se ao redor um contorno de ladrilhos que forma um quadrado maior. Observa-se que: para n=1 há 1 ladrilho; para n=2, 9 ladrilhos; para n=3, 25 ladrilhos; e para n=4, 49 ladrilhos. A partir do texto-base, identifique a expressão que modela o número total de ladrilhos no padrão de índice n.

1. A) O total de ladrilhos é dado por n^2+(n-1)^2.
2. B) O total de ladrilhos é dado por (2n-1)^2.
3. C) O total de ladrilhos é dado por 4n^2+1.
4. D) O total de ladrilhos é dado por 2n^2-1.
5. E) O total de ladrilhos é dado por (2n+1)^2.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Observe a sequência dada: n=1 gera 1 ladrilho, n=2 gera 9, n=3 gera 25 e n=4 gera 49. Esses valores são quadrados perfeitos: 1 = 1^2, 9 = 3^2, 25 = 5^2 e 49 = 7^2. Os lados desses quadrados são 1, 3, 5 e 7, que são números ímpares crescentes. Passo 2: Descubra a lei de formação do lado. Em cada padrão, o lado aumenta 2 unidades em relação ao anterior, então o lado no padrão n é 2n-1 (para n=1 dá 1; n=2 dá 3; n=3 dá 5; n=4 dá 7). Isso faz sentido geometricamente: cada novo contorno acrescenta uma faixa de ladrilhos de cada lado, aumentando o lado do quadrado em 2. Passo 3: Logo, o total de ladrilhos é (2n-1)^2, que é a alternativa B, e ela reproduz exatamente os quatro valores dados. Passo 4: Verificação das demais alternativas. A: n^2+(n-1)^2 dá 5 para n=2, mas o correto é 9. C: 4n^2+1 dá 5 para n=1, mas o correto é 1. D: 2n^2-1 dá 7 para n=2, mas o correto é 9. E: (2n+1)^2 dá 9 para n=1, mas o correto é 1. Passo 5: Conclusão: apenas a alternativa B satisfaz todos os casos dados, e coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Analise a sequência e relacione com expressões quadráticas para identificar o padrão.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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