Folhetos e cartazes anunciavam o Festival do Sol, evento que atraiu o interesse de empreendedores para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Folhetos e cartazes anunciavam o Festival do Sol, evento que atraiu o interesse de empreendedores para analisar o comportamento da arrecadação de ingressos. Um estudo de mercado indicou que a receita R, em milhares de reais, em função do preço p do ingresso, em reais, é dada pela função quadrática R(p)= -0,05 p^2 + 4 p - 20. A representação gráfica dessa função no plano cartesiano permite identificar o preço que maximiza a arrecadação e o valor dessa receita. Analise o texto-base e determine o preço do ingresso que maximiza a arrecadação e o valor dessa receita máxima.
- A) Preço de ingresso de R$ 80 e receita máxima de R$ -20000
- B) Preço de ingresso de R$ 20 e receita máxima de R$ 40000
- C) Preço de ingresso de R$ 40 e receita máxima de R$ 60000
- D) Preço de ingresso de R$ 40 e receita máxima de R$ 20000
- E) Preço de ingresso de R$ -40 e receita máxima de R$ -20000
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes da função quadrática R(p) = -0,05p^2 + 4p - 20: a = -0,05, b = 4 e c = -20. Como a = -0,05 é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.
- Calcule o preço que maximiza a receita pela fórmula do vértice, p_v = -b/(2a). Temos p_v = -4/(2 · (-0,05)) = -4/(-0,1) = 40. Portanto, o preço do ingresso que maximiza a arrecadação é R$ 40.
- Calcule a receita máxima substituindo p = 40 na função: R(40) = -0,05 · 1600 + 4 · 40 - 20 = -80 + 160 - 20 = 60. Como R está em milhares de reais, a receita máxima é 60 mil reais, ou seja, R$ 60000.
- Conferindo com as alternativas, a única que traz preço R$ 40 e receita de R$ 60000 é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada, pois o preço de R$ 80 não é o vértice e a receita negativa não pode ser máxima de uma parábola com concavidade para baixo que passa por valores positivos. A alternativa B está errada, pois p = 20 não é o vértice e a receita nesse ponto é 40 mil, não 40000 reais sem a devida escala. A alternativa D acerta o preço, mas erra o valor da receita, que é 60 mil e não 20 mil. A alternativa E erra o sinal do vértice, pois -b/(2a) resulta em 40 e não em -40.
💡 Dica: Use a fórmula do vértice para encontrar o preço que maximiza a receita.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tomou o preço 80 como o ponto de máximo, talvez confundindo o dobro do vértice ou a raiz da função, e não aplicou a fórmula do vértice corretamente.
O aluno provavelmente escolheu p = 20 por confundir o valor de p com a metade do vértice ou com a constante de simetria, e ignorou a escala de milhares de reais ao escrever a receita.
O vértice de R(p) ocorre em p= -b/(2a)= -4/(2·-0,05)=40 e R(40)= -0,05·1600+160-20=60 (mil reais => R$60000).
O aluno acertou o preço de R$ 40, mas errou o cálculo de R(40), obtendo 20 em vez de 60, ou esqueceu que o resultado já está em milhares e escreveu 20000 por descuido com a escala.
Por que engana: Confundir o sinal do coeficiente quadrático e calcular incorretamente o vértice da parábola.
O aluno errou o sinal ao aplicar a fórmula -b/(2a), tratando o resultado como -4/(-0,1) = -40 em vez de 40, e propagou o erro para a receita.
Raio-X da questão
função quadrática, máximo, receita
avaliacao
função quadrática básica · cálculo do vértice
Estude função quadrática e cálculo do vértice para maximização.
Confundir o sinal do coeficiente quadrático e calcular incorretamente o vértice da parábola.
pensamento_critico
cotidiano
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