Em um estudo sobre crescimento de leveduras, um pesquisador organizou duas tabelas para representar o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um estudo sobre crescimento de leveduras, um pesquisador organizou duas tabelas para representar o comportamento populacional. A Tabela A relaciona o tempo t (em horas) com o número de células N observado e a Tabela B apresenta os mesmos valores de N vinculados a t. Os registros foram: Tabela A: t: 0 ? N: 100 t: 1 ? N: 200 t: 2 ? N: 400 t: 3 ? N: 800 t: 4 ? N: 1600 Tabela B: N: 100 ? t: 0 N: 200 ? t: 1 N: 400 ? t: 2 N: 800 ? t: 3 N: 1600 ? t: 4 O pesquisador supõe que a Tabela B descreve a função inversa daquela apresentada na Tabela A. Analise o texto-base e identifique a expressão que representa a função inversa associada à Tabela B.
- A) f^{-1}(N)=log100(N)
- B) f^{-1}(N)=100·log2(N)
- C) f^{-1}(N)=log2(N) - 100
- D) f^{-1}(N)=2·log2(N/100)
- E) f^{-1}(N)=log2(N/100)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Observe a Tabela A, que relaciona t (horas) com N (células). Os valores de N são 100, 200, 400, 800 e 1600, e cada um é o dobro do anterior, enquanto t cresce de 1 em 1. Isso indica crescimento exponencial de base 2. Passo 2: Escreva a lei da função f(t) = N. Como N(0) = 100 e N dobra a cada hora, N = 100·2^t. Confira: para t = 3, 100·2^3 = 800, que é o valor da tabela. Passo 3: A função inversa troca os papéis de t e N, então precisamos isolar t. Dividindo por 100 temos 2^t = N/100, e aplicando logaritmo de base 2 dos dois lados chegamos a t = log2(N/100). Passo 4: A Tabela B descreve exatamente essa relação, pois associa cada N ao seu t. Verificação: para N = 200, log2(200/100) = log2(2) = 1, que é o t correspondente na tabela; para N = 1600, log2(16) = 4, também correto. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A) log100(N) usa base 100 em vez de base 2, e para N = 200 daria um valor próximo de 1,15, não 1. B) 100·log2(N) multiplica por 100 em vez de dividir N por 100, e para N = 200 daria 100, não 1. C) log2(N) - 100 subtrai 100 em vez de dividir N por 100, e para N = 100 daria aproximadamente -93, não 0. D) 2·log2(N/100) multiplica por 2 o resultado, e para N = 200 daria 2, não 1. Passo 6: Conclusão: a expressão correta da função inversa associada à Tabela B é f^{-1}(N) = log2(N/100), alternativa E, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Analise a relação entre as tabelas e aplique propriedades de logaritmos para encontrar a função inversa.
Alternativa por alternativa
O aluno percebe que os valores crescem e usa um logaritmo, mas escolhe a base 100 (o valor inicial) em vez da base 2, que é a razão de crescimento. Não relaciona a razão constante entre valores consecutivos à base do logaritmo.
O aluno confunde o papel do fator 100 e o coloca como multiplicador externo ao logaritmo, em vez de dividir N por 100 dentro dele. Não isola corretamente t a partir de 2^t = N/100.
O aluno trata a relação como uma translação, subtraindo 100 do logaritmo, em vez de considerar a divisão de N pela constante inicial. Não entende que a constante inicial aparece como divisor no argumento do logaritmo.
O aluno lembra que existe um logaritmo de base 2, mas aplica a propriedade do expoente de forma errada, multiplicando o resultado por 2. Confunde a base do logaritmo com um coeficiente multiplicador.
Por que engana: Confundir a base do logaritmo ou esquecer de ajustar o argumento para refletir o deslocamento na função original.
A função direta é f(t)=100·2^t; sua inversa satisfaz t=log2(N/100), conforme tabela B.
Raio-X da questão
função inversa e logaritmos
avaliacao
função exponencial · propriedades de logaritmos
Estude propriedades de funções inversas e logaritmos.
Confundir a base do logaritmo ou esquecer de ajustar o argumento para refletir o deslocamento na função original.
pensamento_critico
cientifico
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