— Gerente de TI: “Implementamos uma política de senhas mais rigorosa. Cada senha deve ter exatamente 2 letras…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Gerente de TI: “Implementamos uma política de senhas mais rigorosa. Cada senha deve ter exatamente 2 letras maiúsculas (A–Z) e 3 dígitos (0–9), em qualquer ordem. Letras e dígitos podem repetir. Por exemplo, A5B3C é válida. Queremos saber quantas senhas distintas satisfazem essa regra.” Analise o texto-base e determine o número de senhas possíveis que atendem à política descrita.
- A) 15.600.000
- B) 676.000
- C) 3.380.000
- D) 2.600.000
- E) 6.760.000
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Cada senha tem 5 posições, com exatamente 2 letras maiúsculas e 3 dígitos. Primeiro, escolhemos quais 2 das 5 posições serão ocupadas por letras: C(5,2) = 5!/(2!·3!) = 10 maneiras.
- Cada uma das 2 letras pode ser qualquer uma das 26 maiúsculas (repetições são permitidas), então há 26 x 26 = 676 combinações de letras.
- Cada um dos 3 dígitos pode ser qualquer um dos 10 algarismos (0 a 9, repetições permitidas), então há 10 x 10 x 10 = 1000 combinações de dígitos.
- Pelo princípio multiplicativo, o total é 10 x 676 x 1000 = 6.760.000 senhas. Isso coincide com o gabarito oficial E.
- Por que as outras estão erradas: A (15.600.000) superestima a contagem de posições e não corresponde ao produto correto; B (676.000) considera apenas as letras e os dígitos, ignorando as diferentes posições possíveis; C (3.380.000) usa 5 posições para as letras em vez de C(5,2) = 10; D (2.600.000) não reproduz a contagem correta de letras, posições e dígitos.
💡 Dica: Calcule as combinações possíveis para letras e dígitos e depois as permutações das posições.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente multiplicou as opções de letras e dígitos por um fator de arranjo maior que o correto, sem justificar a origem desse número.
O aluno calculou apenas 26 x 26 x 10 x 10 x 10 e ignorou que as letras e os dígitos podem ocupar qualquer uma das 5 posições da senha.
O aluno escolheu apenas uma posição para as letras (5 maneiras) em vez de escolher duas posições (C(5,2) = 10), confundindo o número de letras com o número de posições.
O aluno provavelmente usou uma contagem incorreta de letras e dígitos, tratando como se houvesse apenas uma letra (26 opções) e multiplicando por potências de 10 sem correspondência com os 3 dígitos exigidos.
Por que engana: Confundir permutação com combinação ou não considerar a ordem das posições na senha.
C(5,2)=10 formas de escolher posições das letras; 26^2*10^3=676000; 10*676000=6.760.000.
Raio-X da questão
combinatória e permutação
avaliacao
princípio multiplicativo · combinação simples
Estude combinações, permutações e regras de contagem.
Confundir permutação com combinação ou não considerar a ordem das posições na senha.
tomada_decisao
abstrato
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